Determinar o vetor normal ao plano \pi nos seguintes casos:
\pi:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+2 \lambda+\mu \\\ \mathrm{y}=-\lambda+3 \mu \\\ \mathrm{z}=3+\lambda\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o plano \pi\) em forma paramétrica \[\pi:\begin{cases} x=1+2\lambda+\mu,\\\ y=-\lambda+3\mu,\\\ z=3+\lambda, \end{cases}
e pede um vetor normal. Para isso, vamos usar o fato de que um vetor normal a \pi\] é ortogonal a dois vetores direção do plano, obtidos pelos coeficientes de \(\lambda e \mu, e podemos calculá-lo via produto vetorial.

Passo 2

Os vetores direção extraídos são
\vec v = (2,-1,1)
associado a \lambda e
\vec w = (1,3,0)
associado a \mu. Eles geram o plano, e a reta ortogonal a ambos é dada por \vec v\times \vec w.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
(\vec v \times \vec w)_x = v_y\,w_z - v_z\,w_y = (-1)\cdot 0 - 1\cdot 3 = -3,\quad (\vec v \times \vec w)_y = v_z\,w_x - v_x\,w_z = 1\cdot 1 - 2\cdot 0 = 1,\quad (\vec v \times \vec w)_z = v_x\,w_y - v_y\,w_x = 2\cdot 3 - (-1)\cdot 1 = 7.
Logo,
\vec v \times \vec w = (-3,\,1,\,7).

Passo 4

Concluímos que um vetor normal ao plano \pi é
\vec n = (-3,1,7),
sendo válido qualquer múltiplo escalar de \vec n.

Resposta

\vec n = (-3,1,7)

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