Determinar o vetor normal ao plano \pi nos seguintes casos: \pi:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+2 \lambda+\mu \\\ \mathrm{y}=-\lambda+3 \mu \\\ \mathrm{z}=3+\lambda\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado apresenta o plano \pi\) em forma paramétrica
\[\pi:\begin{cases} x=1+2\lambda+\mu,\\\ y=-\lambda+3\mu,\\\ z=3+\lambda, \end{cases}
e pede um vetor normal. Para isso, vamos usar o fato de que um vetor normal a \pi\] é ortogonal a dois vetores direção do plano, obtidos pelos coeficientes de \(\lambda e \mu, e podemos calculá-lo via produto vetorial.
Passo 2
Os vetores direção extraídos são
\vec v = (2,-1,1)
associado a \lambda e
\vec w = (1,3,0)
associado a \mu. Eles geram o plano, e a reta ortogonal a ambos é dada por \vec v\times \vec w.