Determinar o vetor projeção do vetor v=(2,3,4) sobre u(1,-1,0) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a projeção do vetor v = (2, 3, 4) sobre o vetor u = (1, -1, 0). Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Vetorial, especificamente em projeções de vetores. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula de projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da projeção de v sobre u:
Proju v = ( v cdot uu cdot u ) u
Aqui, v cdot u é o produto escalar dos vetores, e u cdot u é o produto escalar de u consigo mesmo, que dá o quadrado do comprimento de u.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar v cdot u:
v cdot u = (2)(1) + (3)(-1) + (4)(0) = 2 - 3 + 0 = -1

Passo 4

Agora, calculamos u cdot u:
u cdot u = (1)^2 + (-1)^2 + (0)^2 = 1 + 1 + 0 = 2

Passo 5

Substituímos os valores na fórmula da projeção:
Proju v = ( -12 ) u = ( -12 ) (1, -1, 0)

Passo 6

Multiplicamos cada componente de u pelo escalar -12:
Proju v = ( -12, 12, 0 )

Resposta

A projeção do vetor v = (2, 3, 4) sobre o vetor u = (1, -1, 0) é ( -12, 12, 0 ).

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