De acordo com as seguintes afirmações marque verdadeiro ou falso.
Se um subconjunto
de um espaço vetorial é linearmente independente e
não pertence ao subespaço gerado por
, então o subconjunto
pode ser linearmente dependente ou independente.
Se um subconjunto
Passo 1
Então, você tem um exercício sobre espaços vetoriais e independência linear. A questão diz que se um conjunto de vetores
é linearmente independente e um terceiro vetor
não está no espaço gerado por
, queremos saber se o novo conjunto
pode ser linearmente dependente ou independente. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, nenhum vetor no conjunto pode ser escrito como uma combinação dos outros.
Passo 3
Sabemos que
é linearmente independente. Isso significa que
e
não podem ser escritos um em termos do outro. Eles trazem novas direções no espaço vetorial.
Passo 4
Agora, o exercício diz que
não pertence ao subespaço gerado por
. Isso significa que
não pode ser escrito como uma combinação de
e
. Ou seja,
adiciona uma nova direção que não estava presente em
.
Passo 5
Quando adicionamos um vetor que não está no subespaço gerado pelo conjunto anterior, estamos garantindo que o novo vetor não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores existentes. Portanto, o conjunto
mantém a independência linear.
Passo 6
Se
pudesse ser linearmente dependente, isso significaria que pelo menos um dos vetores poderia ser escrito como uma combinação dos outros. Mas isso não é possível aqui, já que
não está no subespaço de
. Assim,
não pode ser dependente; só pode ser independente.
Resposta
Falso. O subconjunto
é sempre linearmente independente sob as condições dadas.