Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2 u+v e v-u, sendo dados u=(3,-1,-2) e v=(1,0,-3). Resp: x(3,7,1), x in R
122. Determinar o valor de m para que o vetor w=(1,2, m) seja simultaneamente ortogonal aos vetores v1=(2,-1,0) e v2=(1,-3,-1). Resp: -5 .
123. Dados os vetores v=(a, 5 b,-c / 2) e w=(-3 a, x, y), determinar x e y tais que v times w=0. Resp. x=-15 b e y=(3 / 2) c.

Passo 1

No primeiro problema queremos um vetor ortogonal a 2vec u+vec v e a vec v-vec u. O conteúdo que usamos é produto vetorial: dado dois vetores em R^3, seu cross product é ortogonal a ambos.

Passo 2

Calculemos primeiro
2vec u+vec v =2,(3,-1,-2)+(1,0,-3) =(6,-2,-4)+(1,0,-3) =(7,-2,-7)

Passo 3

Agora
vec v-vec u =(1,0,-3)-(3,-1,-2) =(-2,1,-1)

Passo 4

Fazendo o produto vetorial
(7,-2,-7)times(-2,1,-1) = i& j& k 7&-2&-7 -2&1&-1 =(9,21,3)

Passo 5

Podemos fatorar (9,21,3)=3,(3,7,1). Logo todo vetor ortogonal é da forma
x,(3,7,1), xin R

Passo 6

No segundo problema buscamos m tal que vec w=(1,2,m) seja ortogonal a vec v1=(2,-1,0) e a vec v2=(1,-3,-1). O instrumento aqui é produto escalar: dois vetores são ortogonais se o dot product for zero.

Passo 7

Primeiro
vec wcdotvec v1 =1cdot2+2cdot(-1)+mcdot0 =2-2+0=0,
que já está satisfeito para qualquer m.

Passo 8

Agora impomos
vec wcdotvec v2 =1cdot1+2cdot(-3)+mcdot(-1) =1-6-m=0 ;Longrightarrow; m=-5

Passo 9

No terceiro problema queremos vec vtimesvec w=vec0, o que implica vec v e vec w são paralelos. Dados
vec v=(a,5b,-tfrac c2) e vec w=(-3a,x,y), há um escalar lambda tal que
vec w=lambda,vec v.

Passo 10

Comparando a primeira componente:
-3a=lambda,a Longrightarrow lambda=-3
(assumindo aneq0).

Passo 11

Então
x=lambdacdot5b=-3cdot5b=-15b, y=lambdacdotl(-tfrac c2r) =-3cdotl(-tfrac c2r) =tfrac32,c

Resposta

x=-15b, y=tfrac32,c

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