Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores , sendo dados e . Resp:
122. Determinar o valor de para que o vetor seja simultaneamente ortogonal aos vetores e v2=(1,-3,-1). Resp: -5 .
123. Dados os vetores v=(a, 5 b,-c / 2) e w=(-3 a, x, y), determinar x e y tais que v times w=0. Resp. x=-15 b e y=(3 / 2) c.
Passo 1
No primeiro problema queremos um vetor ortogonal a 2vec u+vec v e a vec v-vec u. O conteúdo que usamos é produto vetorial: dado dois vetores em R^3, seu cross product é ortogonal a ambos.
Passo 2
Calculemos primeiro
2vec u+vec v =2,(3,-1,-2)+(1,0,-3) =(6,-2,-4)+(1,0,-3) =(7,-2,-7)
Passo 3
Agora
vec v-vec u =(1,0,-3)-(3,-1,-2) =(-2,1,-1)
Passo 4
Fazendo o produto vetorial
(7,-2,-7)times(-2,1,-1) = i& j& k 7&-2&-7 -2&1&-1 =(9,21,3)
Passo 5
Podemos fatorar (9,21,3)=3,(3,7,1). Logo todo vetor ortogonal é da forma
x,(3,7,1), xin R
Passo 6
No segundo problema buscamos m tal que vec w=(1,2,m) seja ortogonal a vec v1=(2,-1,0) e a vec v2=(1,-3,-1). O instrumento aqui é produto escalar: dois vetores são ortogonais se o dot product for zero.
No terceiro problema queremos vec vtimesvec w=vec0, o que implica vec v e vec w são paralelos. Dados vec v=(a,5b,-tfrac c2) e vec w=(-3a,x,y), há um escalar lambda tal que vec w=lambda,vec v.