Pergunta: determinar o vetor solução do sistema pelo método de Gauss–Seidel (até 10 iterações ou até a diferença entre iterações ser menor que 10^{-2}).
Observação importante: a primeira equação está incompleta no enunciado — falta o termo do lado direito (o valor de b_1). Sem esse valor não há um vetor b completamente definido e não é possível obter valores numéricos para as iterações finais. Vou explicar o que falta exatamente e, em seguida, mostrar passo a passo como proceder com o método (inclusive iterações simbólicas em função de b_1), para que, se o valor de b_1 for fornecido, dê para completar tudo rapidamente.
Passo 2
O que é o método de Gauss–Seidel e como ele é aplicado (aula curta e prática).
Objetivo: resolver um sistema linear \,A x = b\, iterativamente, atualizando componentes de x imediatamente à medida que ficam disponíveis.
Para uma linha i da formaa_{i1} x_1 + a_{i2} x_2 + \cdots + a_{ii} x_i + \cdots + a_{in} x_n = b_i,a fórmula de atualização na iteração k+1 (usando atualizações já calculadas para índices <i e valores antigos para índices >i) éx_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x_j^{(k)}\right).Explicando as variáveis:
a_{ij} é o elemento da matriz A na linha i, coluna j.
b_i é o i-ésimo componente do vetor b.
x_j^{(k)} é o valor da componente j na iteração k.
x_j^{(k+1)} quando já foi atualizado nesta iteração.
Critério de parada prático: pode-se usar a norma infinito (máxima diferença entre componentes em duas iterações consecutivas). Ou seja, parar quando\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty} = \max_i |x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}| < \epsilon.Aqui \epsilon=10^{-2}.
Condição de convergência suficiente simples: se A for estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou simétrica definida positiva), o método converge para a solução. Diagonalmente dominante por linhas significa|a_{ii}| > \sum_{j\ne i} |a_{ij}|\quad\text{para toda linha }i.
Passo 3
Identificar a matriz A e o vetor b a partir do sistema escrito, e verificar convergência (o que se pode fazer mesmo sem b_1).
Extraindo os coeficientes das equações (peguei esses coeficientes do enunciado):A = \begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 9 & -3 & 4\\[4pt] 0 & 3 & -7 & 2\\[4pt] -2 & 2 & -3 & 10 \end{pmatrix}, \qquad b = \begin{pmatrix} b_1\\[2pt] 5\\[2pt] -7\\[2pt] 33\end{pmatrix},em que explicito que o enunciado não forneceu b_1 (falta o lado direito da primeira equação).
Verificação de dominância diagonal (cada linha):
Linha 1: |a_{11}| = 5 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}| = |{-1}|+|2|+|{-1}|=4. Então 5>4.
Linha 2: |a_{22}| = 9 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}| = 1+3+4=8. Então 9>8.
Linha 3: |a_{33}| = 7 e \sum_{j\ne3}|a_{3j}| = 0+3+2=5. Então 7>5.
Linha 4: |a_{44}| = 10 e \sum_{j\ne4}|a_{4j}| = 2+3+3=8. Então 10>8.
Conclusão: a matriz A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, logo o método de Gauss–Seidel converge para a solução verdadeira para qualquer vetor b. Isso significa que, assim que b_1 for conhecido, as iterações convergirão (e a tolerância escolhida faz sentido).]
Passo 4
Escrever as fórmulas de atualização de Gauss–Seidel para este sistema (usando o valor desconhecido b_1 simbolicamente). Essas fórmulas são o que se usa para computar cada iteração manualmente na prova.
Sequência de atualização (Gauss–Seidel): calcular x_1^{(k+1)} usando x^{(k)} para x_2,x_3,x_4 inicialmente; em seguida x_2^{(k+1)} usando x_1^{(k+1)} já atualizado; depois x_3^{(k+1)} e x_4^{(k+1)}.
Passo 5
Executar a primeira iteração explicitamente (em função de b_1), para mostrar o procedimento numérico passo a passo. Isso mostra exatamente o que fazer na prova caso alguém peça as primeiras iterações.
Substituição dá uma expressão racional em termos de b_1. (Posso desenvolver inteiro passo a passo se desejar, mas o ponto principal é que cada componente fica como função racional de b_1.)
Depois de obter x^{(1)} (aqui em função de b_1), procede-se exatamente da mesma forma para iterações subsequentes, substituindo sempre os valores recém-calculados.
Passo 6
Como checar a convergência numericamente na prática (o que você deve fazer à mão na prova ou no calculador):
Depois de cada iteração k, calcule o vetor diferença d^{(k)} = x^{(k)} - x^{(k-1)} e a norma infinito\|d^{(k)}\|_{\infty} = \max_i |x_i^{(k)} - x_i^{(k-1)}|.
Se \|d^{(k)}\|_{\infty} < 10^{-2} pare e aceite x^{(k)} como aproximação da solução. Caso contrário continue até k=10. Se chegar em k=10 sem atingir a tolerância, use x^{(10)} como aproximação final (mesmo que não tenha convergido à precisão desejada).
Observação prática: como A é estritamente diagonalmente dominante, normalmente poucas iterações são suficientes para \epsilon=10^{-2}. Em problemas de prova, costuma-se mostrar 3–5 iterações e o critério de parada.
Passo 7
Conclusão prática sobre a resolução pedida e o que falta para completá-la numericamente.
O enunciado tem uma informação essencial faltando: o lado direito da primeira equação (o valor de b_1). Sem esse valor não é possível calcular numericamente as iterações finais nem fornecer o vetor solução numérico após até 10 iterações.
Posso:
Se quiser, terminar as iterações simbolicamente (expressões para x^{(k)} em função de b_1) — o que fica cada vez mais complicado mas é possível;
Ou, mais prático e útil, assim que for fornecido o valor de b_1, eu executo as iterações numéricas (até 10) e dou o vetor solução aproximado com \epsilon<10^{-2} — isso eu faço rapidinho.
Reforçando: a matriz A é favorável (diagonalmente dominante), portanto Gauss–Seidel converge; basta fornecer b_1 e eu concluo todas as contas.
Resposta
Não é possível fornecer o vetor solução numérico porque a primeira equação do sistema está incompleta — falta o valor do termo do lado direito (o b_1). Forneça esse valor que eu executo as iterações de Gauss–Seidel até 10 passos ou até \epsilon<10^{-2} e retorno o vetor solução.