Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Gauss-Seidel com o máximo de 10 iterações:
c) x^{(0)}=(1,3,1,3), \epsilon<10^{-2} e
\left\{ \begin{aligned} 5 x_{1} & -x_{2}+2 x_{3}-x_{4} \\\ x_{1} & +9 x_{2}-3 x_{3}+4 x_{4}=5 \\\\ 3 x_{2}-7 x_{3}+2 x_{4} & =-7 \\\\ -2 x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3}+10 x_{4} & =33 \end{aligned} \right.\\

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado inicial: \,x^{(0)}=(1,3,1,3).
  • Critério de parada: \epsilon<10^{-2} (ou seja, tolerância 10^{-2}).
  • Limite de iterações: máximo de 10 iterações.
  • Sistema fornecido (copiado do enunciado): \left\{ \begin{aligned} 5 x_{1} & -x_{2}+2 x_{3}-x_{4} \\\ x_{1} & +9 x_{2}-3 x_{3}+4 x_{4}=5 \\\\ 3 x_{2}-7 x_{3}+2 x_{4} & =-7 \\\\ -2 x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3}+10 x_{4} & =33 \end{aligned} \right.
  • Pergunta: determinar o vetor solução do sistema pelo método de Gauss–Seidel (até 10 iterações ou até a diferença entre iterações ser menor que 10^{-2}).
Observação importante: a primeira equação está incompleta no enunciado — falta o termo do lado direito (o valor de b_1). Sem esse valor não há um vetor b completamente definido e não é possível obter valores numéricos para as iterações finais. Vou explicar o que falta exatamente e, em seguida, mostrar passo a passo como proceder com o método (inclusive iterações simbólicas em função de b_1), para que, se o valor de b_1 for fornecido, dê para completar tudo rapidamente.

Passo 2

O que é o método de Gauss–Seidel e como ele é aplicado (aula curta e prática).
  • Objetivo: resolver um sistema linear \,A x = b\, iterativamente, atualizando componentes de x imediatamente à medida que ficam disponíveis.
  • Para uma linha i da forma a_{i1} x_1 + a_{i2} x_2 + \cdots + a_{ii} x_i + \cdots + a_{in} x_n = b_i,a fórmula de atualização na iteração k+1 (usando atualizações já calculadas para índices <i e valores antigos para índices >i) é x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x_j^{(k)}\right).Explicando as variáveis:
    • a_{ij} é o elemento da matriz A na linha i, coluna j.
    • b_i é o i-ésimo componente do vetor b.
    • x_j^{(k)} é o valor da componente j na iteração k.
    • x_j^{(k+1)} quando já foi atualizado nesta iteração.
  • Critério de parada prático: pode-se usar a norma infinito (máxima diferença entre componentes em duas iterações consecutivas). Ou seja, parar quando \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty} = \max_i |x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}| < \epsilon.Aqui \epsilon=10^{-2}.
  • Condição de convergência suficiente simples: se A for estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou simétrica definida positiva), o método converge para a solução. Diagonalmente dominante por linhas significa |a_{ii}| > \sum_{j\ne i} |a_{ij}|\quad\text{para toda linha }i.

Passo 3

Identificar a matriz A e o vetor b a partir do sistema escrito, e verificar convergência (o que se pode fazer mesmo sem b_1).
  • Extraindo os coeficientes das equações (peguei esses coeficientes do enunciado): A = \begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 9 & -3 & 4\\[4pt] 0 & 3 & -7 & 2\\[4pt] -2 & 2 & -3 & 10 \end{pmatrix}, \qquad b = \begin{pmatrix} b_1\\[2pt] 5\\[2pt] -7\\[2pt] 33\end{pmatrix},em que explicito que o enunciado não forneceu b_1 (falta o lado direito da primeira equação).
  • Verificação de dominância diagonal (cada linha):
    • Linha 1: |a_{11}| = 5 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}| = |{-1}|+|2|+|{-1}|=4. Então 5>4.
    • Linha 2: |a_{22}| = 9 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}| = 1+3+4=8. Então 9>8.
    • Linha 3: |a_{33}| = 7 e \sum_{j\ne3}|a_{3j}| = 0+3+2=5. Então 7>5.
    • Linha 4: |a_{44}| = 10 e \sum_{j\ne4}|a_{4j}| = 2+3+3=8. Então 10>8.
  • Conclusão: a matriz A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, logo o método de Gauss–Seidel converge para a solução verdadeira para qualquer vetor b. Isso significa que, assim que b_1 for conhecido, as iterações convergirão (e a tolerância escolhida faz sentido).]

Passo 4

Escrever as fórmulas de atualização de Gauss–Seidel para este sistema (usando o valor desconhecido b_1 simbolicamente). Essas fórmulas são o que se usa para computar cada iteração manualmente na prova.
Da primeira equação (rearranjando):
5x_1 - x_2 + 2x_3 - x_4 = b_1 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = \frac{1}{5}\bigl(b_1 + x_2 - 2x_3 + x_4\bigr).
Da segunda:
x_1 + 9x_2 -3x_3 +4x_4 = 5 \quad\Longrightarrow\quad x_2 = \frac{1}{9}\bigl(5 - x_1 + 3x_3 -4x_4\bigr).
Da terceira:
3x_2 -7x_3 +2x_4 = -7 \quad\Longrightarrow\quad x_3 = \frac{1}{7}\bigl(7 + 3x_2 + 2x_4\bigr).
Da quarta:
-2x_1 +2x_2 -3x_3 +10x_4 = 33 \quad\Longrightarrow\quad x_4 = \frac{1}{10}\bigl(33 + 2x_1 -2x_2 +3x_3\bigr).
Sequência de atualização (Gauss–Seidel): calcular x_1^{(k+1)} usando x^{(k)} para x_2,x_3,x_4 inicialmente; em seguida x_2^{(k+1)} usando x_1^{(k+1)} já atualizado; depois x_3^{(k+1)} e x_4^{(k+1)}.

Passo 5

Executar a primeira iteração explicitamente (em função de b_1), para mostrar o procedimento numérico passo a passo. Isso mostra exatamente o que fazer na prova caso alguém peça as primeiras iterações.
  • Dados iniciais: x^{(0)} = (1,3,1,3).
  • Iteração k=0 k+1=1:
    1. Calcular x_1^{(1)}:
    x_1^{(1)} = \frac{1}{5}\bigl(b_1 + x_2^{(0)} - 2x_3^{(0)} + x_4^{(0)}\bigr) = \frac{1}{5}\bigl(b_1 + 3 -2\cdot 1 + 3\bigr) = \frac{b_1 + 4}{5}.
    1. Calcular x_2^{(1)} usando x_1^{(1)}:
    x_2^{(1)} = \frac{1}{9}\bigl(5 - x_1^{(1)} + 3x_3^{(0)} -4x_4^{(0)}\bigr) = \frac{1}{9}\Bigl(5 - \frac{b_1+4}{5} + 3\cdot 1 -4\cdot 3\Bigr).
    Simplificando:
    5 +3 -12 = -4,\quad\text{então}\quad x_2^{(1)} = \frac{1}{9}\Bigl(-4 - \frac{b_1+4}{5}\Bigr) = \frac{-b_1 -24}{45}.ã
    1. Calcular x_3^{(1)} usando x_2^{(1)}:
    x_3^{(1)} = \frac{1}{7}\bigl(7 + 3x_2^{(1)} + 2x_4^{(0)}\bigr) = \frac{1}{7}\Bigl(7 + 3\cdot\frac{-b_1 -24}{45} + 2\cdot 3\Bigr).
    Simplificando:
    7 + 6 =13,\quad 13 + \frac{-3b_1 -72}{45} = \frac{585 -3b_1 -72}{45} = \frac{513 -3b_1}{45},
    logo
    x_3^{(1)} = \frac{513 - 3b_1}{315}.
    1. Calcular x_4^{(1)} usando x_1^{(1)},x_2^{(1)},x_3^{(1)}:
    x_4^{(1)} = \frac{1}{10}\bigl(33 + 2x_1^{(1)} -2x_2^{(1)} + 3x_3^{(1)}\bigr).
    Substituição dá uma expressão racional em termos de b_1. (Posso desenvolver inteiro passo a passo se desejar, mas o ponto principal é que cada componente fica como função racional de b_1.)
  • Depois de obter x^{(1)} (aqui em função de b_1), procede-se exatamente da mesma forma para iterações subsequentes, substituindo sempre os valores recém-calculados.

Passo 6

Como checar a convergência numericamente na prática (o que você deve fazer à mão na prova ou no calculador):
  • Depois de cada iteração k, calcule o vetor diferença d^{(k)} = x^{(k)} - x^{(k-1)} e a norma infinito \|d^{(k)}\|_{\infty} = \max_i |x_i^{(k)} - x_i^{(k-1)}|.
  • Se \|d^{(k)}\|_{\infty} < 10^{-2} pare e aceite x^{(k)} como aproximação da solução. Caso contrário continue até k=10. Se chegar em k=10 sem atingir a tolerância, use x^{(10)} como aproximação final (mesmo que não tenha convergido à precisão desejada).
  • Observação prática: como A é estritamente diagonalmente dominante, normalmente poucas iterações são suficientes para \epsilon=10^{-2}. Em problemas de prova, costuma-se mostrar 3–5 iterações e o critério de parada.

Passo 7

Conclusão prática sobre a resolução pedida e o que falta para completá-la numericamente.
  • O enunciado tem uma informação essencial faltando: o lado direito da primeira equação (o valor de b_1). Sem esse valor não é possível calcular numericamente as iterações finais nem fornecer o vetor solução numérico após até 10 iterações.
  • Posso:
    • Se quiser, terminar as iterações simbolicamente (expressões para x^{(k)} em função de b_1) — o que fica cada vez mais complicado mas é possível;
    • Ou, mais prático e útil, assim que for fornecido o valor de b_1, eu executo as iterações numéricas (até 10) e dou o vetor solução aproximado com \epsilon<10^{-2} — isso eu faço rapidinho.
  • Reforçando: a matriz A é favorável (diagonalmente dominante), portanto Gauss–Seidel converge; basta fornecer b_1 e eu concluo todas as contas.

Resposta

Não é possível fornecer o vetor solução numérico porque a primeira equação do sistema está incompleta — falta o valor do termo do lado direito (o b_1). Forneça esse valor que eu executo as iterações de Gauss–Seidel até 10 passos ou até \epsilon<10^{-2} e retorno o vetor solução.

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