Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede que se esboce o gráfico da função
dada por
.
Informações fornecidas diretamente pelo enunciado:
Informações fornecidas diretamente pelo enunciado:
- A função é
tal que para todo .
Passo 2
Definição e identificação básica da função: a função é a regra que associa a cada
o número
. Escrever isso explicitamente ajuda a entender o comportamento:
Isto significa: para cada entrada
, a saída é o quadrado de
.
Passo 3
Domínio e imagem (o que posso inserir e que valores posso obter):
- Domínio: todos os reais, porque qualquer número real pode ser elevado ao quadrado. Em notação:
- Imagem (conjunto de valores possíveis): quadrados são sempre maiores ou iguais a zero, logo
Dica: já sabe que o gráfico nunca vai abaixo do eixo
.
Passo 4
Interceptos com os eixos:
- Intercepto com o eixo
(quando ): . Então passa por . - Interceptos com o eixo
são as soluções de , que é apenas . Logo o único ponto de corte com o eixo é .
Passo 5
Vértice e simetria:
- O vértice é o ponto de mínimo da parábola. Para
o mínimo ocorre em , com valor . Portanto vértice em . - A função é par:
. Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo . Então, tudo que está à direita do eixo se repete espelhado à esquerda.
Passo 6
Crescimento/decrescimento usando derivada (ideia simples e prática para a prova):
- Derivada primeira (taxa de variação):
- Interpretação do sinal de
: - Para
: — a função está decrescendo (vai descendo à medida que aumenta até ). - Para
: — a função está crescendo (vai subindo para a direita de ). - Em
: — ponto crítico que é mínimo.
Essa informação ajuda a desenhar a parábola: ela desce atévindo da esquerda e sobe à direita.
- Para
Passo 7
Concavidade (segundo derivada) e formato:
- Segunda derivada:
- Como
para todo , o gráfico é côncavo para cima em toda parte. Em linguagem de desenho: a parábola “abre para cima” e tem forma de “U”.
Passo 8
Pontos-chave para desenhar (faça uma tabela simples e marque no papel):
Calcule alguns valores fáceis:
Calcule alguns valores fáceis:
Pontos que vale marcar:
. Pelo espelhamento, valores à esquerda e à direita ficam iguais.
Passo 9
Comportamento nas extremidades (para
):
- À medida que
cresce, cresce muito rápido para cima. Em símbolos:
Isso significa que as “pernas” da parábola sobem indefinidamente para ambos os lados.
Passo 10
Como esboçar passo a passo (receita prática para prova, sem régua complicada):
- Desenhe os eixos
e e marque o ponto (vértice). - Marque os pontos calculados
. - Lembre que o gráfico é simétrico em relação ao eixo
— copie pontos à direita para a esquerda. - Ligue suavemente os pontos formando um “U” côncavo para cima, com mínimo em
. Não faça cantos: a curva é suave. - Estenda as “pernas” subindo para a esquerda e para a direita, lembrando que ficam cada vez mais altas quando
aumenta.
Passo 11
Dicas finais e erros comuns:
- Não confunda com
(que é ímpar e tem forma de “S”); é par e tem forma de “U”. - Se precisar de mais precisão, calcule pontos intermediários como
. - Ao desenhar sem calculadora, escolha inteiros e frações simples para a tabela.
Resposta
O gráfico de
é uma parábola com vértice em
, simétrica em relação ao eixo
, que abre para cima; passa pelos pontos
e cresce para
quando
.