Esboce o gráfico.
f(x)=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede que se esboce o gráfico da função f dada por f(x)=x^{2}.
Informações fornecidas diretamente pelo enunciado:
  • A função é f tal que f(x)=x^{2} para todo x.

Passo 2

Definição e identificação básica da função: a função é a regra que associa a cada x o número x^{2}. Escrever isso explicitamente ajuda a entender o comportamento:
f(x)=x^{2}.
Isto significa: para cada entrada x, a saída é o quadrado de x.

Passo 3

Domínio e imagem (o que posso inserir e que valores posso obter):
  • Domínio: todos os reais, porque qualquer número real pode ser elevado ao quadrado. Em notação:
\text{dom}(f)=(-\infty,\infty).
  • Imagem (conjunto de valores possíveis): quadrados são sempre maiores ou iguais a zero, logo
\text{im}(f)=[0,\infty).
Dica: já sabe que o gráfico nunca vai abaixo do eixo x.

Passo 4

Interceptos com os eixos:
  • Intercepto com o eixo y (quando x=0): f(0)=0^{2}=0. Então passa por (0,0).
  • Interceptos com o eixo x são as soluções de x^{2}=0, que é apenas x=0. Logo o único ponto de corte com o eixo x é (0,0).

Passo 5

Vértice e simetria:
  • O vértice é o ponto de mínimo da parábola. Para f(x)=x^{2} o mínimo ocorre em x=0, com valor f(0)=0. Portanto vértice em (0,0).
  • A função é par: f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x). Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Então, tudo que está à direita do eixo y se repete espelhado à esquerda.

Passo 6

Crescimento/decrescimento usando derivada (ideia simples e prática para a prova):
  • Derivada primeira (taxa de variação): f'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • Interpretação do sinal de f'(x):
    • Para x<0: f'(x)=2x<0 — a função está decrescendo (vai descendo à medida que x aumenta até 0).
    • Para x>0: f'(x)=2x>0 — a função está crescendo (vai subindo para a direita de 0).
    • Em x=0: f'(0)=0 — ponto crítico que é mínimo.
      Essa informação ajuda a desenhar a parábola: ela desce até (0,0) vindo da esquerda e sobe à direita.

Passo 7

Concavidade (segundo derivada) e formato:
  • Segunda derivada: f''(x)=\frac{d}{dx}(2x)=2.
  • Como f''(x)=2>0 para todo x, o gráfico é côncavo para cima em toda parte. Em linguagem de desenho: a parábola “abre para cima” e tem forma de “U”.

Passo 8

Pontos-chave para desenhar (faça uma tabela simples e marque no papel):
Calcule alguns valores fáceis:
f(-2)=(-2)^{2}=4,\qquad f(-1)=(-1)^{2}=1,
f(0)=0^{2}=0,\qquad f(1)=1^{2}=1,\qquad f(2)=2^{2}=4.
Pontos que vale marcar: (-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4). Pelo espelhamento, valores à esquerda e à direita ficam iguais.

Passo 9

Comportamento nas extremidades (para x\to\pm\infty):
  • À medida que |x| cresce, x^{2} cresce muito rápido para cima. Em símbolos:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty.
Isso significa que as “pernas” da parábola sobem indefinidamente para ambos os lados.

Passo 10

Como esboçar passo a passo (receita prática para prova, sem régua complicada):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque o ponto (0,0) (vértice).
  2. Marque os pontos calculados (-2,4),(-1,1),(1,1),(2,4).
  3. Lembre que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y — copie pontos à direita para a esquerda.
  4. Ligue suavemente os pontos formando um “U” côncavo para cima, com mínimo em (0,0). Não faça cantos: a curva é suave.
  5. Estenda as “pernas” subindo para a esquerda e para a direita, lembrando que ficam cada vez mais altas quando |x| aumenta.

Passo 11

Dicas finais e erros comuns:
  • Não confunda com x^3 (que é ímpar e tem forma de “S”); x^{2} é par e tem forma de “U”.
  • Se precisar de mais precisão, calcule pontos intermediários como f(0{,}5)=(0{,}5)^{2}=0{,}25.
  • Ao desenhar sem calculadora, escolha inteiros e frações simples para a tabela.

Resposta

O gráfico de f(x)=x^{2} é uma parábola com vértice em (0,0), simétrica em relação ao eixo y, que abre para cima; passa pelos pontos (-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4) e cresce para +\infty quando x\to\pm\infty.

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