O que o enunciado pede e o que temos: pediram para esboçar o gráfico da função \;y=x^{2}|x|\;. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A função dada é \;y=x^{2}|x|\;.
Não há restrição adicional de domínio no enunciado, então devemos assumir o domínio natural (todos os reais).
A partir daqui vamos transformar a expressão, estudar propriedades (domínio, imagem, simetria, pontos notáveis, monotonia, concavidade, derivabilidade) e com isso montar o esboço.
Passo 2
Simplificação algébrica importante (isso facilita muito o esboço): note que \;x^{2}|x|=(|x|)^{3}=|x|^{3}.
Portanto é mais claro trabalhar com a função
y = |x|^{3}.
Isto já é um grande passo: a função é o cubo do valor absoluto.
Passo 3
Domínio e imagem (intervalos possíveis de x e y):
Domínio: todos os reais, ou seja \;x\in\mathbb{R}, porque |x| e a potência existem para todo x.
Como |x|\ge 0 para todo x, então |x|^{3}\ge 0. Logo a imagem (conjunto de valores de y) é \;y\in[0,\infty).
Resumo: domínio \;\mathbb{R}, imagem \;[0,\infty).
Passo 4
Escrever a função de forma peça por peça (útil para esboçar):
Para \;x\ge 0\) temos \(|x|=x\), então
\[y = x^{3},\quad x\ge 0.
(na prática os dois ramos coincidem em 0\] com valor \(0.)]
Passo 5
Simetria da função (ajuda muito no esboço): |x|^{3} é uma função par, pois |-x|=|x| implica
y(-x)=| -x |^{3} = |x|^{3}=y(x).
Portanto o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical y- (ou seja, espelhado em relação ao eixo y). Isso significa que basta desenhar o ramo para x\ge 0 e espelhar para x<0.
Passo 6
Pontos notáveis e interceptos:
Intercepto com o eixo y: em x=0, y=0. Então o gráfico passa por (0,0).
Intercepto com eixo x: só em x=0 (porque y\ge0 e só y=0 em x=0).
Alguns pontos fáceis para marcar (use simetria para refletir à esquerda):
x=0\Rightarrow y=0.
x=1\Rightarrow y=1^{3}=1.
x=2\Rightarrow y=8.
x=-1\Rightarrow y=|-1|^{3}=1.
x=-2\Rightarrow y=8.
Marque pelo menos (0,0), (1,1), (2,8) e seus reflexos à esquerda.
Passo 7
Monotonia (crescimento/decrescimento) dos ramos: vamos derivar para ver onde cresce ou decresce.
Para \;x>0, y=x^{3}. A derivada é
y'(x)=3x^{2},\quad x>0.
Como 3x^{2}>0 para todo x>0, o ramo direito é estritamente crescente para x>0.
Para \;x<0, y=-x^{3}. A derivada é
y'(x)=-3x^{2},\quad x<0.
Como -3x^{2}<0 para todo x<0, o ramo esquerdo é estritamente decrescente quando olhamos no sentido numérico (mas atenção: gráfico à esquerda sobe quando nos afastamos de zero no sentido negativo). Em termos simples: ao aumentar x (da esquerda para a direita) o valor de y diminui até x=0 vindo de x<0, e depois aumenta para x>0. Isso é compatível com o formato de um “V suave” com topo em x=0 — só que curvado (não é um V linear).
Passo 8
Concavidade e pontos de inflexão:
Para \;x>0, a segunda derivada é
y''(x)=6x,\quad x>0,
logo y''(x)>0 para x>0: ramo direito é côncavo para cima.
Para \;x<0, a segunda derivada é
y''(x)=-6x,\quad x<0,
mas note que para x<0 temos -6x>0 (porque x é negativo), então o ramo esquerdo também é côncavo para cima.
Conclusão: a função é côncava para cima em todo \mathbb{R} (nenhum ponto de inflexão), com vértice suave em (0,0).
Passo 9
Derivabilidade em x=0 e suavidade:
Limite da derivada à direita em 0: \lim_{x\to 0^{+}}y'(x)=\lim_{x\to 0^{+}}3x^{2}=0.
Limite da derivada à esquerda em 0: \lim_{x\to 0^{-}}y'(x)=\lim_{x\to 0^{-}}-3x^{2}=0.
Como as duas limitam para 0, a derivada em 0 existe e vale y'(0)=0. Portanto o gráfico tem tangente horizontal em (0,0) — ele toca o eixo x com inclinação zero.
As primeiras e segundas derivadas são contínuas em 0 (ambas valem 0 no ponto), mas a terceira derivada tem descontinuidade em 0. Em termos de esboço isso significa que o gráfico é bem suave até segunda ordem (sem cantos).
Passo 10
Comportamento para x\to\pm\infty:
\lim_{x\to\pm\infty}|x|^{3}=+\infty.
Ou seja, os dois ramos sobem para +\infty à medida que |x| aumenta. Não há assíntotas horizontais nem oblíquas: a função cresce muito rápido em módulo.
Passo 11
Instruções práticas para esboçar (passo a passo manualmente, como fazer na prova):
Desenhe os eixos x e y e marque o ponto (0,0).
Marque os pontos (1,1) e (2,8) no lado direito; pelo mesmo motivo marque (-1,1) e (-2,8) no lado esquerdo (pegou-os usando que eu usei valores da forma (x,|x|^{3})).
Lembre que a curva é simétrica em relação ao eixo y. Então construa o ramo direito (para x\ge0) como a curva y=x^{3} começando em (0,0) com tangente horizontal, subindo e ficando cada vez mais íngreme; depois espelhe esse ramo para a esquerda.
Verifique a concavidade: a curva é côncava para cima em todo lugar — ao desenhar mantenha a forma “em taça”.
Trace uma linha suave que passe pelos pontos marcados, com tangente horizontal em 0, subindo rapidamente para os lados. Não faça um “V” agudo: o centro é suave (derivada 0).
Passo 12
Descrição final do formato (resumindo para verificar se entendeu): o gráfico é a curva de \;y=|x|^{3}\;, que é uma “taça” simétrica em torno do eixo y, com mínimo global em (0,0), tangente horizontal em 0, crescendo para +\infty quando x\to\pm\infty. Para x\ge0 parece com o ramo de y=x^{3}; para x\le0 é o espelho desse ramo.
Resposta
Esboço do gráfico: y=|x|^{3}. Equivalente a y=x^{3} para x\ge0 e y=-x^{3} para x<0; função par, mínimo global em (0,0) com tangente horizontal, côncava para cima em todo \mathbb{R}, cresce para +\infty quando |x|\to\infty.