Esboce o gráfico.
y=x^{2}|x|

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: pediram para esboçar o gráfico da função \;y=x^{2}|x|\;. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função dada é \;y=x^{2}|x|\;.
  • Não há restrição adicional de domínio no enunciado, então devemos assumir o domínio natural (todos os reais).
    A partir daqui vamos transformar a expressão, estudar propriedades (domínio, imagem, simetria, pontos notáveis, monotonia, concavidade, derivabilidade) e com isso montar o esboço.

Passo 2

Simplificação algébrica importante (isso facilita muito o esboço): note que \;x^{2}|x|=(|x|)^{3}=|x|^{3}.
Portanto é mais claro trabalhar com a função
y = |x|^{3}.
Isto já é um grande passo: a função é o cubo do valor absoluto.

Passo 3

Domínio e imagem (intervalos possíveis de x e y):
  • Domínio: todos os reais, ou seja \;x\in\mathbb{R}, porque |x| e a potência existem para todo x.
  • Como |x|\ge 0 para todo x, então |x|^{3}\ge 0. Logo a imagem (conjunto de valores de y) é \;y\in[0,\infty).
    Resumo: domínio \;\mathbb{R}, imagem \;[0,\infty).

Passo 4

Escrever a função de forma peça por peça (útil para esboçar):
  • Para \;x\ge 0\) temos \(|x|=x\), então \[y = x^{3},\quad x\ge 0.
  • Para \;x<0 temos |x|=-x, então
y = (-x)^{3} = -x^{3},\quad x<0.
Portanto a função é dada por
y=\begin{cases} -x^{3}, & x<0,\\[4pt] 0, & x=0,\\[4pt] x^{3}, & x>0. \end{cases}
(na prática os dois ramos coincidem em 0\] com valor \(0.)]

Passo 5

Simetria da função (ajuda muito no esboço): |x|^{3} é uma função par, pois |-x|=|x| implica
y(-x)=| -x |^{3} = |x|^{3}=y(x).
Portanto o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical y- (ou seja, espelhado em relação ao eixo y). Isso significa que basta desenhar o ramo para x\ge 0 e espelhar para x<0.

Passo 6

Pontos notáveis e interceptos:
  • Intercepto com o eixo y: em x=0, y=0. Então o gráfico passa por (0,0).
  • Intercepto com eixo x: só em x=0 (porque y\ge0 e só y=0 em x=0).
  • Alguns pontos fáceis para marcar (use simetria para refletir à esquerda):
    • x=0\Rightarrow y=0.
    • x=1\Rightarrow y=1^{3}=1.
    • x=2\Rightarrow y=8.
    • x=-1\Rightarrow y=|-1|^{3}=1.
    • x=-2\Rightarrow y=8.
      Marque pelo menos (0,0), (1,1), (2,8) e seus reflexos à esquerda.

Passo 7

Monotonia (crescimento/decrescimento) dos ramos: vamos derivar para ver onde cresce ou decresce.
  • Para \;x>0, y=x^{3}. A derivada é
y'(x)=3x^{2},\quad x>0.
Como 3x^{2}>0 para todo x>0, o ramo direito é estritamente crescente para x>0.
  • Para \;x<0, y=-x^{3}. A derivada é
y'(x)=-3x^{2},\quad x<0.
Como -3x^{2}<0 para todo x<0, o ramo esquerdo é estritamente decrescente quando olhamos no sentido numérico (mas atenção: gráfico à esquerda sobe quando nos afastamos de zero no sentido negativo). Em termos simples: ao aumentar x (da esquerda para a direita) o valor de y diminui até x=0 vindo de x<0, e depois aumenta para x>0. Isso é compatível com o formato de um “V suave” com topo em x=0 — só que curvado (não é um V linear).

Passo 8

Concavidade e pontos de inflexão:
  • Para \;x>0, a segunda derivada é
y''(x)=6x,\quad x>0,
logo y''(x)>0 para x>0: ramo direito é côncavo para cima.
  • Para \;x<0, a segunda derivada é
y''(x)=-6x,\quad x<0,
mas note que para x<0 temos -6x>0 (porque x é negativo), então o ramo esquerdo também é côncavo para cima.
Conclusão: a função é côncava para cima em todo \mathbb{R} (nenhum ponto de inflexão), com vértice suave em (0,0).

Passo 9

Derivabilidade em x=0 e suavidade:
  • Limite da derivada à direita em 0: \lim_{x\to 0^{+}}y'(x)=\lim_{x\to 0^{+}}3x^{2}=0.
  • Limite da derivada à esquerda em 0: \lim_{x\to 0^{-}}y'(x)=\lim_{x\to 0^{-}}-3x^{2}=0.
    Como as duas limitam para 0, a derivada em 0 existe e vale y'(0)=0. Portanto o gráfico tem tangente horizontal em (0,0) — ele toca o eixo x com inclinação zero.
  • As primeiras e segundas derivadas são contínuas em 0 (ambas valem 0 no ponto), mas a terceira derivada tem descontinuidade em 0. Em termos de esboço isso significa que o gráfico é bem suave até segunda ordem (sem cantos).

Passo 10

Comportamento para x\to\pm\infty:
\lim_{x\to\pm\infty}|x|^{3}=+\infty.
Ou seja, os dois ramos sobem para +\infty à medida que |x| aumenta. Não há assíntotas horizontais nem oblíquas: a função cresce muito rápido em módulo.

Passo 11

Instruções práticas para esboçar (passo a passo manualmente, como fazer na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque o ponto (0,0).
  2. Marque os pontos (1,1) e (2,8) no lado direito; pelo mesmo motivo marque (-1,1) e (-2,8) no lado esquerdo (pegou-os usando que eu usei valores da forma (x,|x|^{3})).
  3. Lembre que a curva é simétrica em relação ao eixo y. Então construa o ramo direito (para x\ge0) como a curva y=x^{3} começando em (0,0) com tangente horizontal, subindo e ficando cada vez mais íngreme; depois espelhe esse ramo para a esquerda.
  4. Verifique a concavidade: a curva é côncava para cima em todo lugar — ao desenhar mantenha a forma “em taça”.
  5. Trace uma linha suave que passe pelos pontos marcados, com tangente horizontal em 0, subindo rapidamente para os lados. Não faça um “V” agudo: o centro é suave (derivada 0).

Passo 12

Descrição final do formato (resumindo para verificar se entendeu): o gráfico é a curva de \;y=|x|^{3}\;, que é uma “taça” simétrica em torno do eixo y, com mínimo global em (0,0), tangente horizontal em 0, crescendo para +\infty quando x\to\pm\infty. Para x\ge0 parece com o ramo de y=x^{3}; para x\le0 é o espelho desse ramo.

Resposta

Esboço do gráfico: y=|x|^{3}. Equivalente a y=x^{3} para x\ge0 e y=-x^{3} para x<0; função par, mínimo global em (0,0) com tangente horizontal, côncava para cima em todo \mathbb{R}, cresce para +\infty quando |x|\to\infty.

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