Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Gauss-Seidel com o máximo de 10 iterações: x^{(0)}=(0,0,0,0), \epsilon<10^{-2} e \left\{
\begin{array}{rlclll}
x_{1} & - & 0.25 x_{2} & -0.25 x_{3} & & \\\\ -0.25 x_{1} & + & x_{2} & & & -0 \\\\ -0.25 x_{1} & & & + & x_{3} & \\\ & - & 0.25 x_{2} & & & \\\ & & & & x_{4} & = \\\ & & & 0.25
\end{array}
\right.\\
Passo 1
O enunciado pede: "Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Gauss-Seidel com o máximo de 10 iterações: x^{(0)}=(0,0,0,0), \epsilon<10^{-2}\)". As informações relevantes (organizei o sistema que veio no enunciado numa forma explícita) são:
- Sistema linear (interpretação do enunciado):
\[\begin{cases} x_{1} - 0{,}25\,x_{2} - 0{,}25\,x_{3} = 0,\\[4pt] -0{,}25\,x_{1} + x_{2} - 0{,}25\,x_{4} = 0,\\[4pt] -0{,}25\,x_{1} + x_{3} = 0,\\[4pt] -0{,}25\,x_{2} + x_{4} = 0{,}25, \end{cases}
Chute inicial: x^{(0)} = (0,0,0,0)\].
- Critério de parada: \(\displaystyle \max_{i}|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}|<10^{-2} ou no máximo 10 iterações.
- Método solicitado: Gauss–Seidel.]
Passo 2
O que é o método de Gauss–Seidel e como o usamos aqui (explicação didática, sem pular etapas).
Idea rápida: Gauss–Seidel é um método iterativo para resolver Ax=b. A cada iteração calcula-se cada coordenada x_i isolando x_i na i-ésima equação e usando já os valores mais recentes para as coordenadas já atualizadas nesta iteração e os valores antigos para as demais. Isso tende a convergir quando a matriz é estritamente diagonalmente dominante (ou em outros casos), o que garante estabilidade do processo.
Forma prática: se a i-ésima equação pode ser escrita como \,a_{ii} x_i + \sum_{j\ne i} a_{ij} x_j = b_i, então a fórmula de atualização é
Aqui cada x_j^{(k)} com j<i usa o valor já atualizado na iteração corrente, e x_j^{(k-1)} com j>i usa o valor da iteração anterior.
Critério de parada: vamos usar o máximo das diferenças entre iterações sucessivas (norma infinito) e parar quando for menor que 10^{-2}, ou quando alcançarmos 10 iterações.
Passo 3
Isolar cada variável nas equações (escrevendo as fórmulas iterativas que vamos aplicar). A partir do sistema do Passo 1 isolamos:
Essas fórmulas são obtidas apenas isolando a incógnita em cada equação. Na iteração k vamos aplicar, na ordem x_1,x_2,x_3,x_4, usando os valores já atualizados quando disponíveis (Gauss–Seidel).]
Passo 4
Verificação rápida de convergência teórica (simples): cada equação tem coeficiente diagonal 1 e a soma absoluta dos coeficientes fora da diagonal em cada linha é no máximo 0{,}5 (por exemplo na primeira linha 0{,}25+0{,}25=0{,}5<1). Isso significa que a matriz é estritamente diagonalmente dominante pelas linhas e o método Gauss–Seidel converge. Então é razoável esperar convergência com nosso critério.
Diferença para x^{(2)}: mudanças foram 0{,}015625, 0{,}0048828125, 0{,}00390625, 0{,}012939453125. Norma infinito =0{,}015625>10^{-2}. Ainda não atingimos a tolerância.
Diferença para x^{(3)}: mudanças foram aproximadamente 0{,}0021973, 0{,}0037842, 0{,}0005493, 0{,}0009460. A norma infinito das diferenças é aproximadamente 0{,}0037842, que é menor que 10^{-2}. Portanto o critério de parada é satisfeito.
Passo 9
Conclusão prática: o método convergiu antes de 10 iterações (convergiu na 4ª iteração com a tolerância solicitada). Os valores finais aproximados (com precisão suficiente para \epsilon<10^{-2}) são os componentes de x^{(4)} calculados acima.
Resposta
\displaystyle x \approx \bigl(0{,}017822265625,\;0{,}0711669921875,\;0{,}00445556640625,\;0{,}267791748046875\bigr)