Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Gauss-Seidel com o máximo de 10 iterações:
x^{(0)}=(0,0,0,0), \epsilon<10^{-2} e
\left\{ \begin{array}{rlclll} x_{1} & - & 0.25 x_{2} & -0.25 x_{3} & & \\\\ -0.25 x_{1} & + & x_{2} & & & -0 \\\\ -0.25 x_{1} & & & + & x_{3} & \\\ & - & 0.25 x_{2} & & & \\\ & & & & x_{4} & = \\\ & & & 0.25 \end{array} \right.\\

Passo 1

O enunciado pede: "Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Gauss-Seidel com o máximo de 10 iterações: x^{(0)}=(0,0,0,0), \epsilon<10^{-2}\)". As informações relevantes (organizei o sistema que veio no enunciado numa forma explícita) são: - Sistema linear (interpretação do enunciado): \[\begin{cases} x_{1} - 0{,}25\,x_{2} - 0{,}25\,x_{3} = 0,\\[4pt] -0{,}25\,x_{1} + x_{2} - 0{,}25\,x_{4} = 0,\\[4pt] -0{,}25\,x_{1} + x_{3} = 0,\\[4pt] -0{,}25\,x_{2} + x_{4} = 0{,}25, \end{cases}
  • Chute inicial: x^{(0)} = (0,0,0,0)\]. - Critério de parada: \(\displaystyle \max_{i}|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}|<10^{-2} ou no máximo 10 iterações.
    - Método solicitado: Gauss–Seidel.]

Passo 2

O que é o método de Gauss–Seidel e como o usamos aqui (explicação didática, sem pular etapas).
  • Idea rápida: Gauss–Seidel é um método iterativo para resolver Ax=b. A cada iteração calcula-se cada coordenada x_i isolando x_i na i-ésima equação e usando já os valores mais recentes para as coordenadas já atualizadas nesta iteração e os valores antigos para as demais. Isso tende a convergir quando a matriz é estritamente diagonalmente dominante (ou em outros casos), o que garante estabilidade do processo.
  • Forma prática: se a i-ésima equação pode ser escrita como \,a_{ii} x_i + \sum_{j\ne i} a_{ij} x_j = b_i, então a fórmula de atualização é
x_i^{(k)} = \frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{j<i} a_{ij} x_j^{(k)} - \sum_{j>i} a_{ij} x_j^{(k-1)}\Bigr).
Aqui cada x_j^{(k)} com j<i usa o valor já atualizado na iteração corrente, e x_j^{(k-1)} com j>i usa o valor da iteração anterior.
  • Critério de parada: vamos usar o máximo das diferenças entre iterações sucessivas (norma infinito) e parar quando for menor que 10^{-2}, ou quando alcançarmos 10 iterações.

Passo 3

Isolar cada variável nas equações (escrevendo as fórmulas iterativas que vamos aplicar). A partir do sistema do Passo 1 isolamos:
\begin{aligned} x_{1} &= 0{,}25\,x_{2} + 0{,}25\,x_{3},\\[4pt] x_{2} &= 0{,}25\,x_{1} + 0{,}25\,x_{4},\\[4pt] x_{3} &= 0{,}25\,x_{1},\\[4pt] x_{4} &= 0{,}25\,x_{2} + 0{,}25. \end{aligned}
Essas fórmulas são obtidas apenas isolando a incógnita em cada equação. Na iteração k vamos aplicar, na ordem x_1,x_2,x_3,x_4, usando os valores já atualizados quando disponíveis (Gauss–Seidel).]

Passo 4

Verificação rápida de convergência teórica (simples): cada equação tem coeficiente diagonal 1 e a soma absoluta dos coeficientes fora da diagonal em cada linha é no máximo 0{,}5 (por exemplo na primeira linha 0{,}25+0{,}25=0{,}5<1). Isso significa que a matriz é estritamente diagonalmente dominante pelas linhas e o método Gauss–Seidel converge. Então é razoável esperar convergência com nosso critério.

Passo 5

Iteração k=1. Partimos de x^{(0)}=(0,0,0,0).
  • Atualização de x_1:
x_1^{(1)} = 0{,}25\,x_2^{(0)} + 0{,}25\,x_3^{(0)} = 0{,}25\cdot 0 + 0{,}25\cdot 0 = 0.
  • Atualização de x_2:
x_2^{(1)} = 0{,}25\,x_1^{(1)} + 0{,}25\,x_4^{(0)} = 0{,}25\cdot 0 + 0{,}25\cdot 0 = 0.
  • Atualização de x_3:
x_3^{(1)} = 0{,}25\,x_1^{(1)} = 0{,}25\cdot 0 = 0.
  • Atualização de x_4:
x_4^{(1)} = 0{,}25\,x_2^{(1)} + 0{,}25 = 0{,}25\cdot 0 + 0{,}25 = 0{,}25.
Resultado da iteração 1:
x^{(1)} = \bigl(0,\;0,\;0,\;0{,}25\bigr).
Diferença (norma infinito) em relação a x^{(0)}: \max|x^{(1)}-x^{(0)}| = 0{,}25, que é maior que 10^{-2}, então continuamos.

Passo 6

Iteração k=2. Usamos x^{(1)}.
  • x_1^{(2)} = 0{,}25\,x_2^{(1)} + 0{,}25\,x_3^{(1)} = 0{,}25\cdot 0 + 0{,}25\cdot 0 = 0.
  • x_2^{(2)} = 0{,}25\,x_1^{(2)} + 0{,}25\,x_4^{(1)} = 0{,}25\cdot 0 + 0{,}25\cdot 0{,}25 = 0{,}0625.
  • x_3^{(2)} = 0{,}25\,x_1^{(2)} = 0.
  • x_4^{(2)} = 0{,}25\,x_2^{(2)} + 0{,}25 = 0{,}25\cdot 0{,}0625 + 0{,}25 = 0{,}00390625 + 0{,}25 = 0{,}25390625.
Resultado da iteração 2:
x^{(2)} = \bigl(0,\;0{,}0625,\;0,\;0{,}25390625\bigr).
Diferença para x^{(1)}: componentes mudaram em 0{,}0625 e 0{,}00390625; norma infinito =0{,}0625>10^{-2}. Continuamos.

Passo 7

Iteração k=3. Usamos x^{(2)}.
  • x_1^{(3)} = 0{,}25\,x_2^{(2)} + 0{,}25\,x_3^{(2)} = 0{,}25\cdot 0{,}0625 + 0 = 0{,}015625.
  • x_2^{(3)} = 0{,}25\,x_1^{(3)} + 0{,}25\,x_4^{(2)} = 0{,}25\cdot 0{,}015625 + 0{,}25\cdot 0{,}25390625
\quad= 0{,}00390625 + 0{,}0634765625 = 0{,}0673828125.
  • x_3^{(3)} = 0{,}25\,x_1^{(3)} = 0{,}00390625.
  • x_4^{(3)} = 0{,}25\,x_2^{(3)} + 0{,}25 = 0{,}25\cdot 0{,}0673828125 + 0{,}25 = 0{,}016845703125 + 0{,}25 = 0{,}266845703125.
Resultado da iteração 3:
x^{(3)} = \bigl(0{,}015625,\;0{,}0673828125,\;0{,}00390625,\;0{,}266845703125\bigr).
Diferença para x^{(2)}: mudanças foram 0{,}015625, 0{,}0048828125, 0{,}00390625, 0{,}012939453125. Norma infinito =0{,}015625>10^{-2}. Ainda não atingimos a tolerância.

Passo 8

Iteração k=4. Usamos x^{(3)}.
  • x_1^{(4)} = 0{,}25\,x_2^{(3)} + 0{,}25\,x_3^{(3)} = 0{,}25\cdot 0{,}0673828125 + 0{,}25\cdot 0{,}00390625
\quad= 0{,}016845703125 + 0{,}0009765625 = 0{,}017822265625.
  • x_2^{(4)} = 0{,}25\,x_1^{(4)} + 0{,}25\,x_4^{(3)} = 0{,}25\cdot 0{,}017822265625 + 0{,}25\cdot 0{,}266845703125
\quad= 0{,}00445556640625 + 0{,}06671142578125 = 0{,}0711669921875.
  • x_3^{(4)} = 0{,}25\,x_1^{(4)} = 0{,}00445556640625.
  • x_4^{(4)} = 0{,}25\,x_2^{(4)} + 0{,}25 = 0{,}25\cdot 0{,}0711669921875 + 0{,}25
\quad= 0{,}017791748046875 + 0{,}25 = 0{,}267791748046875.
Resultado da iteração 4:
x^{(4)} = \bigl(0{,}017822265625,\;0{,}0711669921875,\;0{,}00445556640625,\;0{,}267791748046875\bigr).
Diferença para x^{(3)}: mudanças foram aproximadamente 0{,}0021973, 0{,}0037842, 0{,}0005493, 0{,}0009460. A norma infinito das diferenças é aproximadamente 0{,}0037842, que é menor que 10^{-2}. Portanto o critério de parada é satisfeito.

Passo 9

Conclusão prática: o método convergiu antes de 10 iterações (convergiu na 4ª iteração com a tolerância solicitada). Os valores finais aproximados (com precisão suficiente para \epsilon<10^{-2}) são os componentes de x^{(4)} calculados acima.

Resposta

\displaystyle x \approx \bigl(0{,}017822265625,\;0{,}0711669921875,\;0{,}00445556640625,\;0{,}267791748046875\bigr)

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