Esboce e identifique a curva definida pelas equações paramétricas
x=t^{2}-2 t \quad y=t+1

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=t^{2}-2t,\qquad y=t+1
e pede para esboçar e identificar a curva.
Informações relevantes que temos:
  • A curva é o conjunto de pontos (x,y) obtidos ao variar t por todos os reais.
  • O enunciado pede duas coisas: (1) identificar que tipo de curva é (equação cartesiana, vértice, orientação etc.) e (2) indicar como esboçá‑la (pontos notáveis e direção de percurso conforme t varia).

Passo 2

Eliminando o parâmetro para obter a equação cartesiana. Primeiro isolamos t a partir de y:
y=t+1 \quad\Rightarrow\quad t=y-1.
Substituímos isso em x:
x=(y-1)^{2}-2(y-1).
Agora desenvolvemos e simplificamos passo a passo:
(y-1)^{2}=y^{2}-2y+1,
-2(y-1)=-2y+2,
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x = \bigl(y^{2}-2y+1\bigr)+\bigl(-2y+2\bigr)=y^{2}-4y+3.

Passo 3

Colocando a equação na forma canônica (completando o quadrado) para reconhecer a curva:
x=y^{2}-4y+3 = \bigl(y^{2}-4y+4\bigr)-1 = (y-2)^{2}-1.
Portanto a equação cartesiana é
x=(y-2)^{2}-1.
Explicação didática do porquê disso ser útil: ao escrever x em função de (y-2)^{2} obtemos uma parábola com eixo paralelo ao eixo x. A forma padrão de uma parábola com eixo horizontal é
(y-k)^{2}=4p(x-h),
onde (h,k) é o vértice e p indica a “distância focal” (se p>0 abre para a direita, se p<0 abre para a esquerda).

Passo 4

Identificação da parábola a partir da forma encontrada. Reescrevemos a nossa equação como
(y-2)^{2}=x+1.
Comparando com (y-k)^{2}=4p(x-h) vemos que:
  • h=-1, k=2. Logo o vértice é (-1,2).
  • 4p=1\Rightarrow p=\tfrac{1}{4}. Como p>0, a parábola abre para a direita (no sentido de aumento de x).
    Podemos também obter foco e diretriz (opcional mas útil):
\text{focus: }\bigl(h+p,\;k\bigr)=\bigl(-1+\tfrac{1}{4},\;2\bigr)=\bigl(-\tfrac{3}{4},\;2\bigr),
\text{diretriz: }x=h-p=-1-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{5}{4}.

Passo 5

Estudo da parametrização e direção do traçado (como a curva é percorrida quando t varia). Observe que y=t+1 é uma bijeção entre t e y: para cada t há exatamente um y, e conforme t cresce, y cresce. O vértice corresponde a t tal que x é mínimo: como
x=(t-1)^{2}-1,
o mínimo ocorre em t=1, que dá y=2 e x=-1 (o vértice). Alguns pontos fáceis para esboçar (vou calcular para valores inteiros de t):
  • t=-1:\quad y=0,\; x=(-1)^{2}-2(-1)=1+2=3 → ponto \bigl(3,0\bigr).
  • t=0:\quad y=1,\; x=0^{2}-0=0 → ponto \bigl(0,1\bigr).
  • t=1:\quad y=2,\; x=1-2=-1 → vértice \bigl(-1,2\bigr).
  • t=2:\quad y=3,\; x=4-4=0 → ponto \bigl(0,3\bigr).
  • t=3:\quad y=4,\; x=9-6=3 → ponto \bigl(3,4\bigr).
Esses pontos mostram claramente a forma simétrica em relação à reta y=2 e que a parábola abre para a direita. Direção do traçado: à medida que t aumenta, os pontos percorrem a parábola de baixo para cima passando pelo vértice em t=1 (por exemplo: (3,0) (0,1) (-1,2) (0,3) (3,4) …).

Passo 6

Como esboçar na prova (passo a passo prático):
  1. Marque o vértice \bigl(-1,2\bigr).
  2. Trace a reta eixo de simetria y=2 (linha horizontal).
  3. Marque os pontos calculados \bigl(3,0\bigr),\;(0,1\bigr),\;(0,3\bigr),\;(3,4\bigr).
  4. Desenhe uma curva suave passando por esses pontos, simétrica em relação a y=2, com concavidade para a direita (mínimo de x no vértice).
  5. Coloque setas indicando a direção do traçado conforme t aumenta (seta apontando para cima ao atravessar o vértice, como mostrado na sequência de pontos).

Passo 7

Resumo final e incentivo curto: a curva é uma parábola horizontal com vértice em \bigl(-1,2\bigr) que abre para a direita; com os pontos e o eixo de simetria fica bem rápido o esboço. Você já tem tudo para desenhar à mão na prova — comece pelo vértice e uns 3 pontos, depois liga com cuidado. Força aí, você consegue!

Resposta

Parábola com equação cartesiana \;x=(y-2)^{2}-1.
Vértice: \;(-1,2).
Eixo de simetria: \;y=2.
Abre para a direita (coeficiente positivo).
Foco: \;(-\tfrac{3}{4},2).
Diretriz: \;x=-\tfrac{5}{4}.
Direção do traçado conforme t aumenta: do ponto (3,0) para (0,1) para (-1,2) para (0,3) para (3,4), isto é, sobe atravessando o vértice.

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