Esboce e identifique a curva definida pelas equações paramétricas
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
e pede para esboçar e identificar a curva.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A curva é o conjunto de pontos
obtidos ao variar por todos os reais. - O enunciado pede duas coisas: (1) identificar que tipo de curva é (equação cartesiana, vértice, orientação etc.) e (2) indicar como esboçá‑la (pontos notáveis e direção de percurso conforme
varia).
Passo 2
Eliminando o parâmetro para obter a equação cartesiana. Primeiro isolamos
a partir de
:
Substituímos isso em
:
Agora desenvolvemos e simplificamos passo a passo:
logo
Passo 3
Colocando a equação na forma canônica (completando o quadrado) para reconhecer a curva:
Portanto a equação cartesiana é
Explicação didática do porquê disso ser útil: ao escrever
em função de
obtemos uma parábola com eixo paralelo ao eixo
. A forma padrão de uma parábola com eixo horizontal é
onde
é o vértice e
indica a “distância focal” (se
abre para a direita, se
abre para a esquerda).
Passo 4
Identificação da parábola a partir da forma encontrada. Reescrevemos a nossa equação como
Comparando com
vemos que:
-
, . Logo o vértice é . -
. Como , a parábola abre para a direita (no sentido de aumento de ).
Podemos também obter foco e diretriz (opcional mas útil):
Passo 5
Estudo da parametrização e direção do traçado (como a curva é percorrida quando
varia). Observe que
é uma bijeção entre
e
: para cada
há exatamente um
, e conforme
cresce,
cresce. O vértice corresponde a
tal que
é mínimo: como
o mínimo ocorre em
, que dá
e
(o vértice). Alguns pontos fáceis para esboçar (vou calcular para valores inteiros de
):
-
→ ponto . -
→ ponto . -
→ vértice . -
→ ponto . -
→ ponto .
Esses pontos mostram claramente a forma simétrica em relação à reta
e que a parábola abre para a direita. Direção do traçado: à medida que
aumenta, os pontos percorrem a parábola de baixo para cima passando pelo vértice em
(por exemplo:
→
→
→
→
…).
Passo 6
Como esboçar na prova (passo a passo prático):
- Marque o vértice
. - Trace a reta eixo de simetria
(linha horizontal). - Marque os pontos calculados
. - Desenhe uma curva suave passando por esses pontos, simétrica em relação a
, com concavidade para a direita (mínimo de no vértice). - Coloque setas indicando a direção do traçado conforme
aumenta (seta apontando para cima ao atravessar o vértice, como mostrado na sequência de pontos).
Passo 7
Resumo final e incentivo curto: a curva é uma parábola horizontal com vértice em
que abre para a direita; com os pontos e o eixo de simetria fica bem rápido o esboço. Você já tem tudo para desenhar à mão na prova — comece pelo vértice e uns 3 pontos, depois liga com cuidado. Força aí, você consegue!
Resposta
Parábola com equação cartesiana
Vértice:
Eixo de simetria:
Abre para a direita (coeficiente positivo).
Foco:
Diretriz:
Direção do traçado conforme aumenta: do ponto
para
para
para
para
, isto é, sobe atravessando o vértice.
Vértice:
Eixo de simetria:
Abre para a direita (coeficiente positivo).
Foco:
Diretriz:
Direção do traçado conforme