Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Jacobi com o máximo de 10 iterações:
c) x^{(0)}=(1,3,1,3), \epsilon<10^{-2} e \left{ \begin{aligned} 5 x_{1} & -x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=5 \\ x_{1} & +9 x_{2}-3 x_{3}+4 x_{4}=26 \\ & 3 x_{2}-7 x_{3}+2 x_{4}=-7 \\ -2 x_{1}+2 x_{2} & -3 x_{3}+10 x_{4}=33\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a solução do sistema
\begin{cases} 5x_1 - x_2 + 2x_3 - x_4 = 5,\\\ x_1 + 9x_2 - 3x_3 + 4x_4 = 26,\\\\ 3x_2 - 7x_3 + 2x_4 = -7,\\\\ -2x_1 + 2x_2 - 3x_3 +10x_4 = 33 \end{cases}
usando o método de Jacobi, com vetor inicial
x^{(0)} = (1,\;3,\;1,\;3),
tolerância \epsilon<10^{-2} e no máximo 10 iterações.

Passo 2

Isolando cada incógnita, obtemos as fórmulas de iteração de Jacobi:
x_1^{(k+1)} = \frac{5 + x_2^{(k)} - 2\,x_3^{(k)} + x_4^{(k)}}{5}, \quad x_2^{(k+1)} = \frac{26 - x_1^{(k)} + 3\,x_3^{(k)} - 4\,x_4^{(k)}}{9},
x_3^{(k+1)} = \frac{3\,x_2^{(k)} + 2\,x_4^{(k)} + 7}{7}, \quad x_4^{(k+1)} = \frac{33 + 2\,x_1^{(k)} - 2\,x_2^{(k)} + 3\,x_3^{(k)}}{10}.

Passo 3

Aplicando essas fórmulas para k=0,1,2,3, com arredondamento a 4 casas decimais, obtemos:
x^{(1)} = (1{,}8000,\;1{,}7778,\;3{,}1429,\;3{,}2000),
x^{(2)} = (0{,}7384,\;2{,}3143,\;2{,}6762,\;4{,}2473),
x^{(3)} = (1{,}2418,\;1{,}8112,\;3{,}2054,\;3{,}7877),
x^{(4)} = (0{,}8376,\;2{,}1360,\;2{,}8584,\;4{,}1477).

Passo 4

Continuando para k=4,5,6,7:
x^{(5)} = (1{,}1134,\;1{,}9052,\;3{,}1005,\;3{,}8979),
x^{(6)} = (0{,}9204,\;2{,}0663,\;2{,}9302,\;4{,}0718),
x^{(7)} = (1{,}0555,\;1{,}9537,\;3{,}0489,\;3{,}9499),
x^{(8)} = (0{,}9611,\;2{,}0324,\;2{,}9658,\;4{,}0351).

Passo 5

Finalmente, para k=8,9 e k=9,10:
x^{(9)} = (1{,}0272,\;1{,}9774,\;3{,}0239,\;3{,}9755),
x^{(10)} = (0{,}9810,\;2{,}0159,\;2{,}9833,\;4{,}0171).
O critério \|x^{(10)} - x^{(9)}\|_\infty \approx 0{,}0462 ainda é maior que 10^{-2}, mas atingimos o máximo de 10 iterações.

Resposta

A aproximação obtida em 10 iterações é
x \approx (0{,}9810,\;2{,}0159,\;2{,}9833,\;4{,}0171).

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