Determinar o vetor v colinear ao vetor u = ( -4, 2, 6), tal que v.w = 12 sendo w = ( -1, 4, 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar um vetor v que seja colinear ao vetor u = (-4, 2, 6) e que satisfaça a condição v · w = 12, onde w = (-1, 4, 2). Vamos precisar entender o que significa vetores colineares e como calcular o produto escalar para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser colinear. Dois vetores são colineares se um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, podemos escrever v como:
v = k cdot u
Onde k é um número real que vamos determinar. Então, substituindo u = (-4, 2, 6):
v = k cdot (-4, 2, 6) = (-4k, 2k, 6k)

Passo 3

Agora, precisamos usar a condição que o produto escalar de v e w é igual a 12. O produto escalar de dois vetores a = (a₁, a₂, a₃) e b = (b₁, b₂, b₃) é calculado assim:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso para v e w:
v cdot w = (-4k)(-1) + (2k)(4) + (6k)(2)
Simplificando:
4k + 8k + 12k = 24k
E sabemos que isso deve ser igual a 12:
24k = 12

Passo 4

Agora, vamos resolver para k:
24k = 12
k = 1224
k = 12

Resposta

Substituindo k de volta na expressão de v:
v = ( -4 cdot 12, 2 cdot 12, 6 cdot 12 ) = (-2, 1, 3)
Então, o vetor v é (-2, 1, 3).

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