Determinar o vetor v colinear ao vetor u = ( -4, 2, 6), tal que v.w = 12 sendo w = ( -1, 4, 2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar um vetor v que seja colinear ao vetor u = (-4, 2, 6) e que satisfaça a condição v · w = 12, onde w = (-1, 4, 2). Vamos precisar entender o que significa vetores colineares e como calcular o produto escalar para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser colinear. Dois vetores são colineares se um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, podemos escrever v como:
Onde k é um número real que vamos determinar. Então, substituindo u = (-4, 2, 6):
Passo 3
Agora, precisamos usar a condição que o produto escalar de v e w é igual a 12. O produto escalar de dois vetores a = (a₁, a₂, a₃) e b = (b₁, b₂, b₃) é calculado assim:
Aplicando isso para v e w:
Simplificando:
E sabemos que isso deve ser igual a 12:
Passo 4
Agora, vamos resolver para k:
Resposta
Substituindo k de volta na expressão de v:
Então, o vetor v é (-2, 1, 3).