Uma barra cilíndrica de cobre de 1,2 m de
comprimento e 4,8 cm2 de seção reta é bem isolada e
não perde energia pela superfície lateral. A diferença
de temperatura entre as extremidades é 100°C, já que
uma está imersa em uma mistura de água e gelo e a
outra em uma mistura de água e vapor.
(a) A que taxa a energia é conduzida pela barra?
(b) A que taxa o gelo derrete na extremidade fria?​

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma barra de cobre com determinadas dimensões e uma diferença de temperatura entre suas extremidades. O assunto aqui é condução de calor, mais especificamente como o calor é transferido através de um material. Para resolvermos isso, a gente vai precisar usar a Lei de Fourier para condução de calor e algumas fórmulas relacionadas ao derretimento do gelo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Comprimento da barra, $ L = 1,2 , m $
  • Área da seção reta, $ A = 4,8 , cm^2 = 4,8 \times 10^{-4} , m^2 $ (convertendo para metros quadrados)
  • Diferença de temperatura, $ \Delta T = 100^\circC $
  • Material da barra: cobre
  • A barra está bem isolada, então não perde calor pelas laterais.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a Lei de Fourier da condução de calor, que nos diz que a taxa de condução de calor (ou fluxo de calor), $ \dot{Q} $, é dada por:
dotQ
Onde:
  • $ k $ é a condutividade térmica do material (para o cobre, $ k \approx 400 , W/(m·K) $)
  • $ A $ é a área da seção transversal
  • $ \Delta T $ é a diferença de temperatura
  • $ L $ é o comprimento da barra
O sinal negativo indica que o calor flui do ponto de maior temperatura para o de menor, mas como queremos a taxa de energia, vamos considerar o valor absoluto.

Passo 4

Vamos substituir os valores na equação:
dotQ = k cdot A cdot De
dotQ = 400 , W/(m·K) times 4,8 times 10^-4 , m^2 times 100 , K1,2 , m

Passo 5

Agora, vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule $ \frac{\Delta T}{L} $:
De
Depois, multiplique todos os termos:
1001,2 = 83,333 , K/m
dotQ = 400 times 4,8 times 10^-4 times 83,333
dotQ = 400 times 4,8 times 10^-4 = 0,192 , W/K

Passo 6

Agora, para a parte (b), a gente quer saber a taxa com que o gelo está derretendo na extremidade fria. Para isso, precisamos entender que a energia conduzida na barra é usada para derreter o gelo. A quantidade de calor necessária para derreter o gelo é dada pela fórmula:
Q = m cdot Lf
Onde:
  • $ Q $ é a energia
  • $ m $ é a massa de gelo derretida
  • $ L_f $ é o calor latente de fusão do gelo ($ L_f \approx 334 , kJ/kg $)
Como queremos a taxa, rearranjamos a fórmula:
Q

Passo 7

Vamos substituir os valores:
dotm = 16 , W334 times 10^3 , J/kg
Lembrando que 1 W = 1 J/s, então:
dotm = 16334 times 10^3 , kg/s
dotm approx 4,79 times 10^-5 , kg/s

Passo 8

Resumindo, usamos a Lei de Fourier para encontrar a taxa de condução de calor na barra e, em seguida, relacionamos essa taxa com o calor necessário para derreter o gelo, usando o calor latente de fusão para determinar a massa de gelo que está derretendo por segundo.

Resposta

(a) A taxa de energia conduzida pela barra é aproximadamente 16 W.
(b) A taxa com que o gelo derrete na extremidade fria é aproximadamente 4,8 × 10⁻⁵ kg/s.

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