Uma barra cilíndrica de cobre de 1,2 m de
comprimento e 4,8 cm2 de seção reta é bem isolada e
não perde energia pela superfície lateral. A diferença
de temperatura entre as extremidades é 100°C, já que
uma está imersa em uma mistura de água e gelo e a
outra em uma mistura de água e vapor.
(a) A que taxa a energia é conduzida pela barra?
(b) A que taxa o gelo derrete na extremidade fria?
comprimento e 4,8 cm2 de seção reta é bem isolada e
não perde energia pela superfície lateral. A diferença
de temperatura entre as extremidades é 100°C, já que
uma está imersa em uma mistura de água e gelo e a
outra em uma mistura de água e vapor.
(a) A que taxa a energia é conduzida pela barra?
(b) A que taxa o gelo derrete na extremidade fria?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma barra de cobre com determinadas dimensões e uma diferença de temperatura entre suas extremidades. O assunto aqui é condução de calor, mais especificamente como o calor é transferido através de um material. Para resolvermos isso, a gente vai precisar usar a Lei de Fourier para condução de calor e algumas fórmulas relacionadas ao derretimento do gelo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Comprimento da barra, $ L = 1,2 , m $
- Área da seção reta, $ A = 4,8 , cm^2 = 4,8 \times 10^{-4} , m^2 $ (convertendo para metros quadrados)
- Diferença de temperatura, $ \Delta T = 100^\circC $
- Material da barra: cobre
- A barra está bem isolada, então não perde calor pelas laterais.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a Lei de Fourier da condução de calor, que nos diz que a taxa de condução de calor (ou fluxo de calor), $ \dot{Q} $, é dada por:
Onde:
- $ k $ é a condutividade térmica do material (para o cobre, $ k \approx 400 , W/(m·K) $)
- $ A $ é a área da seção transversal
- $ \Delta T $ é a diferença de temperatura
- $ L $ é o comprimento da barra
O sinal negativo indica que o calor flui do ponto de maior temperatura para o de menor, mas como queremos a taxa de energia, vamos considerar o valor absoluto.
Passo 4
Vamos substituir os valores na equação:
Passo 5
Agora, vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule $ \frac{\Delta T}{L} $:
Depois, multiplique todos os termos:
Passo 6
Agora, para a parte (b), a gente quer saber a taxa com que o gelo está derretendo na extremidade fria. Para isso, precisamos entender que a energia conduzida na barra é usada para derreter o gelo. A quantidade de calor necessária para derreter o gelo é dada pela fórmula:
Onde:
- $ Q $ é a energia
- $ m $ é a massa de gelo derretida
- $ L_f $ é o calor latente de fusão do gelo ($ L_f \approx 334 , kJ/kg $)
Como queremos a taxa, rearranjamos a fórmula:
Passo 7
Vamos substituir os valores:
Lembrando que 1 W = 1 J/s, então:
Passo 8
Resumindo, usamos a Lei de Fourier para encontrar a taxa de condução de calor na barra e, em seguida, relacionamos essa taxa com o calor necessário para derreter o gelo, usando o calor latente de fusão para determinar a massa de gelo que está derretendo por segundo.
Resposta
(a) A taxa de energia conduzida pela barra é aproximadamente 16 W.
(b) A taxa com que o gelo derrete na extremidade fria é aproximadamente 4,8 × 10⁻⁵ kg/s.