Determinar o vetor 
 , ortogonal ao eixo 
  e 
 , sendo 
  
 
Passo 1
Então, temos um exercício de álgebra vetorial onde precisamos encontrar um vetor 
  que seja perpendicular ao eixo 
 . Além disso, esse vetor deve satisfazer duas condições de produto escalar com outros vetores dados: 
  e 
 , onde 
  e 
 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, produto escalar e condições de perpendicularidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o vetor 
  ser perpendicular ao eixo 
 . O eixo 
  é o eixo das ordenadas, ou seja, tem direção apenas no componente y. Se 
  é perpendicular a esse eixo, ele não tem componente na direção y. Portanto, podemos escrever 
  como:
Aqui, 
  e 
  são componentes desconhecidas que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos usar as condições de produto escalar que nos foram dadas. O produto escalar entre dois vetores 
  e 
  é calculado por:
Aplicando isso às condições do problema:
- 
:  
- 
:  
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da Equação 2, podemos expressar 
  em termos de 
 :
Agora, substituímos essa expressão na Equação 1:
Com o valor de 
  encontrado, voltamos para a expressão de 
 :
Resposta
Portanto, o vetor 
  que satisfaz todas as condições é: