Quais dos seguintes são subespaços de 
  (espaço das funções contínuas no intervalo 
  ):
(a) Todas as funções contínuas que se anulam em 0 e 1.
(a) Todas as funções contínuas que se anulam em 0 e 1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo 
  que se anulam em 
  e 
  forma um subespaço do espaço 
 . O conteúdo que vamos precisar envolve álgebra linear e os conceitos de subespaço vetorial. Vamos verificar se esse conjunto satisfaz os três requisitos para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o conjunto contém o vetor zero. No nosso contexto, o vetor zero é a função que é zero em todos os pontos do intervalo 
 , ou seja, 
  para todo 
 . Essa função claramente se anula em 
  e 
 , então ela está no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas funções 
  e 
  que se anulam em 
  e 
 , a função 
  também deve se anular em 
  e 
 . Vamos verificar:
Então, 
  também se anula em 
  e 
 , o que significa que o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se 
  está no conjunto e 
  é um número real qualquer, então 
  também deve estar no conjunto. Vamos conferir:
Portanto, 
  também se anula em 
  e 
 , mostrando que o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo 
  que se anulam em 
  e 
  é um subespaço de 
 .