Para se determinar o volume maciço de um cilindro metálico vazado por uma esfera, mediu-se 5 vezes o diâmetro D do cilindro com um micrômetro obtendo-se: barD=2,2155 cm com um desvio relativo de 5,6% e o. A sua altura H foi medida com um paquímetro com os valores dados na tabela abaixo:
H(cm) 7,290 7,275 7,280 7,255 7,260
O diâmetro da esfera é igual a d=1,125 cm com sum(di-bard)^2=0,002580 cm^2 para 6 medidas
Sabendo que a massa da parte maciça do cilindro é barm=274,5 pm 7,5 g determine o valor médio da densidade ( rho=mV ) e o seu desvio padrão, e escreva na forma rho=barrho pm srho ( resp. rho=10,0 pm 1,1 g / cm^3 )

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a densidade média de um cilindro metálico que tem uma esfera vazada dentro dele. A densidade é dada pela fórmula:
rho = mV
Onde $ m $ é a massa e $ V $ é o volume. Para isso, vamos precisar:
  • Medidas do diâmetro do cilindro e da esfera.
  • Medidas da altura do cilindro.
  • Conhecer a fórmula do volume de um cilindro e de uma esfera.
  • Calcular o desvio padrão para entender a incerteza nas medidas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do cilindro cheio (sem a esfera vazada). A fórmula do volume do cilindro é:
Vcilindro = pi (D2)^2 H
Onde:
  • $ D $ é o diâmetro do cilindro.
  • $ H $ é a altura do cilindro.
Vamos usar a média do diâmetro $ \bar{D} = 2,2155 , cm $ e a média da altura.

Passo 3

Vamos calcular a média da altura $ H $. As medidas são: 7,290 cm, 7,275 cm, 7,280 cm, 7,255 cm e 7,260 cm.
H

Passo 4

Agora, calculamos o volume do cilindro cheio usando as médias encontradas:
Vcilindro = pi (2,21552)^2 times 7,272 approx pi times (1,10775)^2 times 7,272 approx pi times 1,2263 times 7,272 approx 28,01 , cm^3

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o volume da esfera que está vazando o cilindro. A fórmula do volume da esfera é:
Vesfera = 43 pi (d2)^3
Onde $ d = 1,125 , cm $ é o diâmetro da esfera.
d = 1,125 , cm

Passo 6

O volume efetivo do cilindro metálico é o volume do cilindro cheio menos o volume da esfera vazada:
V = Vcilindro - Vesfera approx 28,01 , cm^3 - 0,236 , cm^3 approx 27,774 , cm^3

Passo 7

Agora, usamos a massa fornecida para calcular a densidade média:
rho = mV = 274,5 , g27,774 , cm^3 approx 9,89 , g/cm^3

Passo 8

Precisamos também calcular o desvio padrão da densidade. Para isso, consideramos os desvios nas medidas de massa e volume. Dado que a massa tem um desvio de $ \pm 7,5 , g $ e o desvio relativo do diâmetro do cilindro é 5,6%, vamos propagar esses erros.
Primeiro, o desvio relativo do volume ($ V $) pode ser aproximado pela soma dos desvios relativos do diâmetro e da altura:
pm 7,5 , g
Então, o desvio absoluto do volume:
V
Agora, aplicamos a propagação de erros para a densidade:
De

Resposta

A densidade média do cilindro é $ \rho = 9,89 \pm 1,15 , g/cm^3 $.

Exercícios relacionados