Para se determinar o volume maciço de um cilindro metálico vazado por uma esfera, mediu-se 5 vezes o diâmetro do cilindro com um micrômetro obtendo-se: com um desvio relativo de 5,6% e o. A sua altura H foi medida com um paquímetro com os valores dados na tabela abaixo:
7,290
7,275
7,280
7,255
7,260
O diâmetro da esfera é igual a para 6 medidas
Sabendo que a massa da parte maciça do cilindro é barm=274,5 pm 7,5 g determine o valor médio da densidade ( rho=mV ) e o seu desvio padrão, e escreva na forma rho=barrho pm srho ( resp. rho=10,0 pm 1,1 g / cm^3 )
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a densidade média de um cilindro metálico que tem uma esfera vazada dentro dele. A densidade é dada pela fórmula:
rho = mV
Onde $ m $ é a massa e $ V $ é o volume. Para isso, vamos precisar:
Medidas do diâmetro do cilindro e da esfera.
Medidas da altura do cilindro.
Conhecer a fórmula do volume de um cilindro e de uma esfera.
Calcular o desvio padrão para entender a incerteza nas medidas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume do cilindro cheio (sem a esfera vazada). A fórmula do volume do cilindro é:
Vcilindro = pi (D2)^2 H
Onde:
$ D $ é o diâmetro do cilindro.
$ H $ é a altura do cilindro.
Vamos usar a média do diâmetro $ \bar{D} = 2,2155 , cm $ e a média da altura.
Passo 3
Vamos calcular a média da altura $ H $. As medidas são: 7,290 cm, 7,275 cm, 7,280 cm, 7,255 cm e 7,260 cm.
H
Passo 4
Agora, calculamos o volume do cilindro cheio usando as médias encontradas:
Vcilindro = pi (2,21552)^2 times 7,272 approx pi times (1,10775)^2 times 7,272 approx pi times 1,2263 times 7,272 approx 28,01 , cm^3
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o volume da esfera que está vazando o cilindro. A fórmula do volume da esfera é:
Vesfera = 43 pi (d2)^3
Onde $ d = 1,125 , cm $ é o diâmetro da esfera.
d = 1,125 , cm
Passo 6
O volume efetivo do cilindro metálico é o volume do cilindro cheio menos o volume da esfera vazada:
Precisamos também calcular o desvio padrão da densidade. Para isso, consideramos os desvios nas medidas de massa e volume. Dado que a massa tem um desvio de $ \pm 7,5 , g $ e o desvio relativo do diâmetro do cilindro é 5,6%, vamos propagar esses erros.
Primeiro, o desvio relativo do volume ($ V $) pode ser aproximado pela soma dos desvios relativos do diâmetro e da altura:
pm 7,5 , g
Então, o desvio absoluto do volume:
V
Agora, aplicamos a propagação de erros para a densidade:
De
Resposta
A densidade média do cilindro é $ \rho = 9,89 \pm 1,15 , g/cm^3 $.