Para se determinar o volume maciço de um cilindro metálico vazado por uma esfera, mediu-se 5 vezes o diâmetro D do cilindro com um micrômetro obtendo-se: barD=2,2155 cm com um desvio relativo de 5,6% e o. A sua altura H foi medida com um paquímetro com os valores dados na tabela abaixo:
H(cm) 7,290 7,275 7,280 7,255 7,260
O diâmetro da esfera é igual a d=1,125 cm com sum(di-bard)^2=0,002580 cm^2 para 6 medidas
Qual das medidas, D, H ou d, foi obtida com maior precisão? Justifique sua resposta.
(resp SH approx 0,19 % ; Sd approx 2,0 % ; SD=5,6 % H, p q tem o menor desvio relativo.)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro metálico vazado com uma esfera dentro. Foram medidas três dimensões:
  1. Diâmetro do cilindro (D): Medido 5 vezes com um micrômetro, com média barD = 2,2155 cm e desvio relativo de 5,6%.
  2. Altura do cilindro (H): Medida 5 vezes com um paquímetro, com os valores: 7,290 cm; 7,275 cm; 7,280 cm; 7,255 cm; e 7,260 cm.
  3. Diâmetro da esfera (d): Média bard = 1,125 cm, com a soma dos quadrados das diferenças sum(di-bard)^2 = 0,002580 cm² para 6 medidas.
Nosso objetivo é determinar qual dessas medidas (D, H ou d) foi obtida com maior precisão. Para isso, vamos calcular o desvio relativo de cada uma delas e comparar os valores.

Passo 2

Desvio Relativo é uma medida que indica a precisão de uma medição. É calculado pela fórmula:
Desvio Relativo (%) = (Desvio PadrãoMédia) times 100 ãé
Vamos calcular o desvio relativo para cada dimensão.

Passo 3

Para o diâmetro do cilindro (D):
Já foi fornecido o desvio relativo: 5,6%.

Passo 4

Para a altura do cilindro (H):
Primeiro, vamos calcular a média das medidas:
barH = 7,290 + 7,275 + 7,280 + 7,255 + 7,2605 = 36,3605 = 7,272 cm
Agora, vamos calcular o desvio padrão. A fórmula do desvio padrão para uma amostra é:
s = raizsum (Hi - barH)^2n - 1
Onde:
  • Hi são as medidas individuais
  • barH é a média
  • n é o número de medidas
Calculando as diferenças ao quadrado:
(7,290 - 7,272)^2 &= (0,018)^2 = 0,000324 (7,275 - 7,272)^2 &= (0,003)^2 = 0,000009 (7,280 - 7,272)^2 &= (0,008)^2 = 0,000064 (7,255 - 7,272)^2 &= (-0,017)^2 = 0,000289 (7,260 - 7,272)^2 &= (-0,012)^2 = 0,000144
Somando essas diferenças:
sum (Hi - barH)^2 = 0,000324 + 0,000009 + 0,000064 + 0,000289 + 0,000144 = 0,000830
Agora, calculamos o desvio padrão:
sH = raiz0,0008305 - 1 = raiz0,0008304 = raiz0,0002075 approx 0,0144 cm
Finalmente, o desvio relativo:
Desvio Relativo de H = (0,01447,272) times 100 approx 0,198% approx 0,20%

Passo 5

Para o diâmetro da esfera (d):
Foi dado que sum(di-bard)^2 = 0,002580 cm² para 6 medidas.
Primeiro, calculamos o desvio padrão:
sd = raiz0,0025806 - 1 = raiz0,0025805 = raiz0,000516 approx 0,0227 cm
Agora, o desvio relativo:
Desvio Relativo de d = (0,02271,125) times 100 approx 2,02%

Passo 6

Resumo dos Desvios Relativos:
  • Diâmetro do cilindro (D): 5,6%
  • Altura do cilindro (H): 0,20%
  • Diâmetro da esfera (d): 2,02%

Resposta

A medida da altura (H) foi obtida com a maior precisão, pois apresenta o menor desvio relativo de aproximadamente 0,20%, comparado a 2,02% para o diâmetro da esfera e 5,6% para o diâmetro do cilindro.

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