Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.
c) x=y^{2}+1, x=\frac{1}{2}, y=-2 e y=2; ao redor do eixo dos y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada pelas curvas \displaystyle x=y^{2}+1, \displaystyle x=\tfrac12, \displaystyle y=-2 e \displaystyle y=2.
O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos (anéis), pois cada fatia em y gera um anel com raio externo e interno.

Passo 2

Ao girar em torno do eixo y, para cada y\in[-2,2] temos um anel de área
A(y)=\pi\bigl[R(y)^{2}-r(y)^{2}\bigr],
onde
R(y)=\text{distância ao eixo de }x=y^{2}+1=y^{2}+1, \quad r(y)=\text{distância ao eixo de }x=\tfrac12=\tfrac12.ââ

Passo 3

Logo
A(y) =\pi\Bigl[(y^{2}+1)^{2}-\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}\Bigr] =\pi\Bigl[y^{4}+2y^{2}+1-\tfrac14\Bigr] =\pi\bigl(y^{4}+2y^{2}+\tfrac34\bigr].

Passo 4

O volume é
V=\int_{y=-2}^{2}A(y)\,dy =\pi\int_{-2}^{2}\bigl(y^{4}+2y^{2}+\tfrac34\bigr)\,dy.
Como o integrando é função par, simplificamos
V=2\pi\int_{0}^{2}\bigl(y^{4}+2y^{2}+\tfrac34\bigr)\,dy.

Passo 5

Calculamos as integrais básicas:
\int_{0}^{2}y^{4}\,dy=\frac{2^{5}}{5}=\frac{32}{5},\quad \int_{0}^{2}2y^{2}\,dy=2\cdot\frac{2^{3}}{3}=\frac{16}{3},\quad \int_{0}^{2}\tfrac34\,dy=\tfrac34\cdot2=\tfrac32.
Somando,
\int_{0}^{2}\bigl(y^{4}+2y^{2}+\tfrac34\bigr)\,dy =\frac{32}{5}+\frac{16}{3}+\frac{3}{2} =\frac{192+160+45}{30} =\frac{397}{30}.

Passo 6

Substituindo em V:
V=2\pi\cdot\frac{397}{30} =\frac{397\pi}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{397\pi}{15}

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