Encontre o comprimento de arco das curvas dadas:
(3) y=\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right), 0 \leq x \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
y=\frac{1}{2}\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr),\quad 0\le x\le1.
O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma função y=f(x).

Passo 2

A fórmula para comprimento de arco de y=f(x) em [a,b] é
S=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 3

Calculemos y'. Como
y=\frac12(e^x-e^{-x}),
temos
y'=\frac12\bigl(e^x+e^{-x}\bigr)=\operatorname{cosh} x.

Passo 4

Substituindo em S obtenho
S=\int_{0}^{1}\sqrt{1+\operatorname{cosh}^{2}x}\;dx.
Esse integral não se reduz a funções elementares simples, mas pode ser deixado em forma de integral ou aproximado numericamente.

Passo 5

Aplicando, por exemplo, regra de Simpson com partição em n=4 subintervalos, obtém-se
S\approx1{,}546.

Resposta

\displaystyle S=\int_{0}^{1}\sqrt{1+\operatorname{cosh}^{2}x}\;dx\approx1{,}546.

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