Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.
b) y=x^{2} e y=x^{3}; ao redor do eixo dos x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas
y = x^{2}
e
y = x^{3}. O conteúdo usado será o método dos discos (ou arruelas), que exige: (i) encontrar os pontos de interseção, (ii) determinar as funções de raio externo e interno, e (iii) montar a integral de volume.

Passo 2

Determinar onde as curvas se encontram. Igualando
x^{2} = x^{3}
temos
x^{2}(x - 1) = 0
logo as interseções são em x=0 e x=1.

Passo 3

Para 0 \le x \le 1, observa-se que
x^{2} \ge x^{3}
então, ao girar em torno do eixo x, o raio externo é
R(x) = x^{2}
e o raio interno é
r(x) = x^{3}.

Passo 4

Escrever a integral de volume pelo método das arruelas:
V = \pi \int_{0}^{1} \bigl[R(x)^{2} - r(x)^{2}\bigr]\,dx = \pi \int_{0}^{1} \bigl((x^{2})^{2} - (x^{3})^{2}\bigr)\,dx = \pi \int_{0}^{1} \bigl(x^{4} - x^{6}\bigr)\,dx.

Passo 5

Calcular a integral:
\int_{0}^{1} x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{5}, \quad \int_{0}^{1} x^{6}\,dx = \frac{x^{7}}{7}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{7}.
Logo,
V = \pi\Bigl(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\Bigr) = \pi\frac{7 - 5}{35} = \frac{2\pi}{35}.

Resposta

V = \frac{2\pi}{35}.

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