Determine integral0^3 f(x, y) d x e integral0^4 f(x, y) d y.
f(x, y)=2 x+3 x^2 y

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular duas integrais parciais dessa função de duas variáveis:
f(x,y)=2x+3x^2y
  • integral0^3f(x,y),dx
  • integral0^4f(x,y),dy
Isso é cálculo de integrais de funções de várias variáveis. O que vamos usar:
• Linearidade da integral: integral(A+B)=integral A+integral B
• Quando integramos em x, tratamos y como constante (e vice-versa)
• Regra de potências: integral x^n,dx=x^n+1n+1
• Constante na integral: integral c,dx = c,x
Tranquilo? Então bora pra conta!

Passo 2

Calcular integral0^3f(x,y),dx:
integral0^3(2x+3x^2y),dx =integral0^32x,dx+integral0^33x^2y,dx
Pela linearidade e sabendo que y é constante na integração em x:
integral 2x,dx = x^2, integral 3x^2y,dx = 3y;x^33 = y,x^3
Então
integral0^3f(x,y),dx =l[x^2+y,x^3r]0^3 =(3^2 + ycdot3^3)-0 =9+27y

Passo 3

Calcular integral0^4f(x,y),dy:
integral0^4(2x+3x^2y),dy =integral0^42x,dy+integral0^43x^2y,dy
Aqui x é constante na integração em y:
integral 2x,dy = 2x,y, integral 3x^2y,dy = 3x^2;y^22 = 3x^2,y^22
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integral0^4f(x,y),dy =l[2xy+tfrac3x^2y^22r]0^4 =l(2xcdot4 + tfrac3x^2cdot162r) =8x+24x^2

Resposta

integral0^3f(x,y),dx = 9+27y,
integral0^4f(x,y),dy = 8x+24x^2

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