Determine (1+i)^{i} e (\sqrt{3}+i)^{i}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os dois números complexos abaixo:
(1+i)^{i}
e
(\sqrt{3}+i)^{i}.
As informações fornecidas são exatamente esses dois números complexos na base, e o expoente é o número imaginário puro i. Não há figura nem tabela. Vou usar a definição complexa de potência para números complexos (valor principal).

Passo 2

Primeiro, a regra que vamos usar (expliquei mais embaixo): para números complexos z\neq0 e um expoente complexo w definimos a potência pelo logaritmo complexo principal:
z^{w} = \exp\big(w\,\Log z\big),
onde \Log z é o logaritmo complexo principal dado por
\Log z = \ln|z| + i\,\Arg(z).
Aqui |z| é o módulo de z e \Arg(z) é o argumento principal de z, normalmente escolhido em (-\pi,\pi]. Vou usar essa definição com a escolha padrão do argumento principal.

Passo 3

Relembrando como calcular módulo e argumento:
  • O módulo é |x+iy|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O argumento principal \Arg(x+iy) satisfaz \tan(\Arg)=\dfrac{y}{x} e é ajustado conforme o quadrante. Vou aplicar isso a cada base.

Passo 4

Calculemos para \,1+i:
  • O módulo é
|1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
  • O argumento principal satisfaz \tan\theta=1 e como 1+i está no primeiro quadrante, \theta=\dfrac{\pi}{4}.
    Portanto o logaritmo complexo principal é
\Log(1+i)=\ln|1+i| + i\,\Arg(1+i)=\ln\big(\sqrt{2}\big)+i\frac{\pi}{4}.
Observação útil: \ln\big(\sqrt{2}\big)=\tfrac{1}{2}\ln 2.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da potência com expoente i:
(1+i)^{i}=\exp\!\big(i\,\Log(1+i)\big) =\exp\!\Big(i\Big(\tfrac{1}{2}\ln 2 + i\frac{\pi}{4}\Big)\Big).
Multiplicando i pelo conteúdo:
i\Big(\tfrac{1}{2}\ln 2 + i\frac{\pi}{4}\Big) = i\cdot\tfrac{1}{2}\ln 2 + i^{2}\cdot\frac{\pi}{4} = i\cdot\tfrac{1}{2}\ln 2 - \frac{\pi}{4},
pois i^{2}=-1. Então
(1+i)^{i}=\exp\!\Big(-\frac{\pi}{4}\Big)\,\exp\!\Big(i\cdot\tfrac{1}{2}\ln 2\Big).
Podemos escrever na forma trigonométrica usando Euler \exp(i\varphi)=\cos\varphi + i\sin\varphi:
(1+i)^{i}=e^{-\pi/4}\Big(\cos\!\big(\tfrac{1}{2}\ln 2\big)+i\sin\!\big(\tfrac{1}{2}\ln 2\big)\Big).

Passo 6

Agora para \,\sqrt{3}+i:
  • O módulo é
\big|\sqrt{3}+i\big|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=2.
  • O argumento principal satisfaz \tan\theta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Como \sqrt{3}+i está no primeiro quadrante, \theta=\dfrac{\pi}{6}.
    Logo o logaritmo principal é
\Log(\sqrt{3}+i)=\ln 2 + i\frac{\pi}{6}.

Passo 7

Aplicando a definição de potência com expoente i:
(\sqrt{3}+i)^{i}=\exp\!\big(i\,\Log(\sqrt{3}+i)\big) =\exp\!\Big(i\big(\ln 2 + i\frac{\pi}{6}\big)\Big).
Multiplicando:
i\big(\ln 2 + i\frac{\pi}{6}\big)=i\ln 2 + i^{2}\frac{\pi}{6}=i\ln 2 - \frac{\pi}{6}.
Portanto
(\sqrt{3}+i)^{i}=e^{-\pi/6}\,e^{i\ln 2} =e^{-\pi/6}\Big(\cos(\ln 2)+i\sin(\ln 2)\Big).

Passo 8

Resumo das formas obtidas (formas exponencial e cartesiana usando cosseno/seno), lembrando que estas são os valores principais correspondentes à escolha do argumento em (-\pi,\pi].

Resposta

(1+i)^{i}=e^{-\pi/4}\,e^{\,i\frac{1}{2}\ln 2}=e^{-\pi/4}\Big(\cos\!\big(\tfrac{1}{2}\ln 2\big)+i\sin\!\big(\tfrac{1}{2}\ln 2\big)\Big)
(\sqrt{3}+i)^{i}=e^{-\pi/6}\,e^{\,i\ln 2}=e^{-\pi/6}\Big(\cos(\ln 2)+i\sin(\ln 2)\Big)

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