O enunciado pede para determinar os dois números complexos abaixo:
(1+i)^{i}
e
(\sqrt{3}+i)^{i}.
As informações fornecidas são exatamente esses dois números complexos na base, e o expoente é o número imaginário puro i. Não há figura nem tabela. Vou usar a definição complexa de potência para números complexos (valor principal).
Passo 2
Primeiro, a regra que vamos usar (expliquei mais embaixo): para números complexos z\neq0 e um expoente complexo w definimos a potência pelo logaritmo complexo principal:
z^{w} = \exp\big(w\,\Log z\big),
onde \Log z é o logaritmo complexo principal dado por
\Log z = \ln|z| + i\,\Arg(z).
Aqui |z| é o módulo de z e \Arg(z) é o argumento principal de z, normalmente escolhido em (-\pi,\pi]. Vou usar essa definição com a escolha padrão do argumento principal.
Passo 3
Relembrando como calcular módulo e argumento:
O módulo é |x+iy|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O argumento principal \Arg(x+iy) satisfaz \tan(\Arg)=\dfrac{y}{x} e é ajustado conforme o quadrante. Vou aplicar isso a cada base.
Passo 4
Calculemos para \,1+i:
O módulo é
|1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
O argumento principal satisfaz \tan\theta=1 e como 1+i está no primeiro quadrante, \theta=\dfrac{\pi}{4}.
Portanto o logaritmo complexo principal é
O argumento principal satisfaz \tan\theta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Como \sqrt{3}+i está no primeiro quadrante, \theta=\dfrac{\pi}{6}.
Logo o logaritmo principal é
Resumo das formas obtidas (formas exponencial e cartesiana usando cosseno/seno), lembrando que estas são os valores principais correspondentes à escolha do argumento em (-\pi,\pi].