Determine as raízes das seguintes equações:
e^{3 z-4}=-1.

Passo 1

Enunciado: determinar as raízes da equação \displaystyle e^{3z-4}=-1.
Informações dadas e perguntas:
  • A incógnita é z. Vamos considerar z como um número complexo (se z fosse apenas real não haveria solução, porque e^t>0 para todo t\in\mathbb{R}).
  • A equação relaciona a função exponencial complexa e^{3z-4} com o número -1.
  • Pergunta: encontrar todos os z que satisfazem \displaystyle e^{3z-4}=-1.

Passo 2

Conceito necessário (aula rápida): exponencial complexa e sua forma.
  • Se w=u+iv com u,v\in\mathbb{R}, então
e^{w}=e^{u+iv}=e^{u}\big(\cos v + i\sin v\big).
Aqui u é a parte real de w e v é a parte imaginária. Essa fórmula vem de escrever e^{u+iv}=e^{u}e^{iv} e usar a fórmula de Euler e^{iv}=\cos v+i\sin v.
  • Importante: e^{u}>0 para todo u\in\mathbb{R}, e as funções \cos e \sin são periódicas com período 2\pi, o que introduz múltiplas soluções quando trabalhamos com exponencial complexo.

Passo 3

Vamos escrever z em partes real e imaginária:
z = x + i y,\quad x,y\in\mathbb{R}.
Calcule 3z-4:
3z-4 = 3x-4 + i\,3y.
Aplicando a fórmula do passo anterior,
e^{3z-4} = e^{3x-4}\big(\cos(3y)+i\sin(3y)\big).

Passo 4

Comparando com o lado direito da equação, -1 = -1 + 0i, obtemos o sistema obtido ao igualar parte real e imaginária:
\begin{cases} e^{3x-4}\cos(3y) = -1,\\[4pt] e^{3x-4}\sin(3y) = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver a segunda equação primeiro:
e^{3x-4}\sin(3y)=0.
Como e^{3x-4}>0 para todo x\in\mathbb{R}, devemos ter \sin(3y)=0. As soluções de \sin t=0 são t=k\pi com k\in\mathbb{Z}. Portanto
3y = k\pi \quad\Rightarrow\quad y = \frac{k\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Agora use a primeira equação:
e^{3x-4}\cos(3y) = -1.
Novamente e^{3x-4}>0, então o sinal do lado esquerdo é o sinal de \cos(3y). Para obter -1 precisamos de \cos(3y)=-1 e de e^{3x-4}=1 (porque o módulo de -1 é 1). Assim:
e^{3x-4}=1 \quad\Rightarrow\quad 3x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{4}{3}.
E para \cos(3y)=-1 sabemos que \cos t=-1 quando t=\pi + 2\pi m, com m\in\mathbb{Z}. Igualando:
3y = \pi + 2\pi m \quad\Rightarrow\quad y = \frac{\pi(2m+1)}{3},\quad m\in\mathbb{Z}.
Observação: isso é consistente com a condição \sin(3y)=0 (pois \sin(\pi+2\pi m)=0).

Passo 7

Juntando x e y obtemos todas as soluções:
z = x + i y = \frac{4}{3} + i\frac{\pi(2m+1)}{3},\quad m\in\mathbb{Z}.
Forma alternativa (muito usada usando logaritmo complexo): tomar logarítmo complexo de ambos os lados:
3z-4 = \Log(-1) = i\big(\pi+2\pi m\big),
de onde
z=\frac{4+i\pi(2m+1)}{3},\quad m\in\mathbb{Z},
que é a mesma família de soluções.

Passo 8

Exemplos numéricos rápidos:
  • Para m=0: z=\dfrac{4}{3}+i\,\dfrac{\pi}{3}.
  • Para m=1: z=\dfrac{4}{3}+i\,\dfrac{3\pi}{3}=\dfrac{4}{3}+i\pi.
  • Para m=-1: z=\dfrac{4}{3}+i\,\dfrac{-\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle z=\dfrac{4}{3}+i\,\dfrac{\pi(2k+1)}{3},\quad k\in\mathbb{Z}

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