Determine as raízes das seguintes equações:
.
Passo 1
Enunciado: determinar as raízes da equação
.
Informações dadas e perguntas:
- A incógnita é
. Vamos considerar como um número complexo (se fosse apenas real não haveria solução, porque para todo ). - A equação relaciona a função exponencial complexa
com o número . - Pergunta: encontrar todos os
que satisfazem .
Passo 2
Conceito necessário (aula rápida): exponencial complexa e sua forma.
- Se
com , então
Aqui
é a parte real de
e
é a parte imaginária. Essa fórmula vem de escrever
e usar a fórmula de Euler
.
- Importante:
para todo , e as funções e são periódicas com período , o que introduz múltiplas soluções quando trabalhamos com exponencial complexo.
Passo 3
Vamos escrever
em partes real e imaginária:
Calcule
:
Aplicando a fórmula do passo anterior,
Passo 4
Comparando com o lado direito da equação,
, obtemos o sistema obtido ao igualar parte real e imaginária:
Passo 5
Resolver a segunda equação primeiro:
Como
para todo
, devemos ter
. As soluções de
são
com
. Portanto
Passo 6
Agora use a primeira equação:
Novamente
, então o sinal do lado esquerdo é o sinal de
. Para obter
precisamos de
e de
(porque o módulo de
é
). Assim:
E para
sabemos que
quando
, com
. Igualando:
Observação: isso é consistente com a condição
(pois
).
Passo 7
Juntando
e
obtemos todas as soluções:
Forma alternativa (muito usada usando logaritmo complexo): tomar logarítmo complexo de ambos os lados:
de onde
que é a mesma família de soluções.
Passo 8
Exemplos numéricos rápidos:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .