Mostre que
é sempre real e obtenha todos os seus possíveis valores.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: mostrar que
é sempre real e obter todos os seus possíveis valores.
Informações dadas (explicitamente ou implicitas): é a unidade imaginária que satisfaz
. Não há outras hipóteses.
Informações dadas (explicitamente ou implicitas):
Passo 2
Precisamos entender como interpretar potência com base complexa e expoente complexo. Vou explicar o conceito usado: a exponenciação complexa é feita via a exponencial complexa e o logaritmo complexo. Primeiro, recorde de Euler (uma fórmula-chave):
onde
é um número real. Essa fórmula mostra que números na forma
estão sobre o círculo unitário no plano complexo. Aqui
é o ângulo (argumento) e
tem módulo
e argumento
.
Passo 3
Definição prática que usaremos: para
e qualquer
,
onde
é o logaritmo complexo de
. O logaritmo complexo é multivalorado: escrevendo
em forma polar
com
e
um argumento de
, temos
Aqui
é o logaritmo real do módulo e
representa os infinitos argumentos possíveis (diferença por múltiplos de
). É importante porque gera múltiplos valores para
quando trabalhamos com números complexos.
Passo 4
Aplique isso ao caso
. Primeiro encontre módulo e argumentos de
. Temos
e um argumento conveniente é
(pois
fica no eixo imaginário positivo). Portanto, os argumentos possíveis são
com
. Assim
Como
, fica
Passo 5
Agora calcule
usando a definição do passo anterior. Substituindo
obtemos
Multiplicando
, isso se simplifica para
Passo 6
Observe a forma final:
é uma exponencial de um número real. Logo cada valor obtido é um número real e, mais ainda, é positivo (pois a função exponencial em
dá valores positivos). Portanto todos os valores de
são reais positivos. Isto mostra a afirmativa pedida:
é sempre real.
Passo 7
Escrevendo de forma explícita o conjunto de todos os valores, para
obtemos a família
O valor principal (o mais usado quando se toma o logaritmo principal com
) é
Como comentário intuitivo: variar
desloca o expoente por múltiplos de
, então obtemos uma sequência descontínua de valores reais positivos que tendem a
quando
e crescem sem limite quando
.
Resposta
Sim — todos os valores de
são números reais positivos.
(valor principal:
).