Mostre que i^{i} é sempre real e obtenha todos os seus possíveis valores.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: mostrar que i^{i} é sempre real e obter todos os seus possíveis valores.
Informações dadas (explicitamente ou implicitas): i é a unidade imaginária que satisfaz \;i^{2}=-1\;. Não há outras hipóteses.

Passo 2

Precisamos entender como interpretar potência com base complexa e expoente complexo. Vou explicar o conceito usado: a exponenciação complexa é feita via a exponencial complexa e o logaritmo complexo. Primeiro, recorde de Euler (uma fórmula-chave):
e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta,
onde \theta é um número real. Essa fórmula mostra que números na forma e^{i\theta} estão sobre o círculo unitário no plano complexo. Aqui \theta é o ângulo (argumento) e e^{i\theta} tem módulo 1 e argumento \theta.

Passo 3

Definição prática que usaremos: para z\neq 0 e qualquer w\in\mathbb{C},
z^{w}:=e^{w\Log z},
onde \Log z é o logaritmo complexo de z. O logaritmo complexo é multivalorado: escrevendo z em forma polar z=r e^{i\theta} com r=|z|>0 e \theta um argumento de z, temos
\Log z = \ln r + i(\theta + 2k\pi),\quad k\in\mathbb{Z}.
Aqui \ln r é o logaritmo real do módulo e \theta+2k\pi representa os infinitos argumentos possíveis (diferença por múltiplos de 2\pi). É importante porque gera múltiplos valores para z^{w} quando trabalhamos com números complexos.

Passo 4

Aplique isso ao caso z=i. Primeiro encontre módulo e argumentos de i. Temos |i|=1 e um argumento conveniente é \theta=\pi/2 (pois i fica no eixo imaginário positivo). Portanto, os argumentos possíveis são \pi/2 + 2k\pi com k\in\mathbb{Z}. Assim
\Log i = \ln|i| + i\bigl(\pi/2 + 2k\pi\bigr).
Como \ln|i|=\ln 1=0, fica
\Log i = i\bigl(\pi/2 + 2k\pi\bigr),\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Agora calcule \;i^{i}=e^{\,i\Log i}\; usando a definição do passo anterior. Substituindo \Log i obtemos
i^{i}=e^{\,i\cdot\bigl(i(\pi/2 + 2k\pi)\bigr)}.
Multiplicando i\cdot i = -1, isso se simplifica para
i^{i}=e^{-(\pi/2 + 2k\pi)}.

Passo 6

Observe a forma final: \;e^{-(\pi/2 + 2k\pi)}\; é uma exponencial de um número real. Logo cada valor obtido é um número real e, mais ainda, é positivo (pois a função exponencial em \mathbb{R} dá valores positivos). Portanto todos os valores de i^{i} são reais positivos. Isto mostra a afirmativa pedida: i^{i} é sempre real.

Passo 7

Escrevendo de forma explícita o conjunto de todos os valores, para k\in\mathbb{Z} obtemos a família
\{\,e^{-(\pi/2 + 2k\pi)} \mid k\in\mathbb{Z}\,\}.
O valor principal (o mais usado quando se toma o logaritmo principal com k=0) é
e^{-\pi/2}.
Como comentário intuitivo: variar k desloca o expoente por múltiplos de 2\pi, então obtemos uma sequência descontínua de valores reais positivos que tendem a 0 quando k\to+\infty e crescem sem limite quando k\to-\infty.

Resposta

Sim — todos os valores de i^{i} são números reais positivos.
\displaystyle \{\,e^{-(\pi/2 + 2k\pi)} \mid k\in\mathbb{Z}\,\} (valor principal: \displaystyle e^{-\pi/2}).

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