Determine:
(1pt) integral 2 x^2raiz1-x^2 d x
integral 2 x^2raiz1-x^2 d x stackrelx=sen theta= & 2 integral sen^2 theta d theta=integral(1-cos (2 theta)) d theta=theta-sen 2 theta2+C & = theta-sen theta cos theta+C=arcsen x-x raiz1-x^2+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 2x^2raiz1 - x^2,dx
O conteúdo é integração por substituição trigonométrica. Vamos usar a mudança de variável x = sintheta, que simplifica a raiz raiz1 - x^2.

Passo 2

Fazendo x = sintheta implica
dx = costheta,dtheta, raiz1 - x^2 = raiz1 - sin^2theta = costheta
Substituindo na integral:
integral 2x^2raiz1 - x^2,dx = 2integral sin^2thetacostheta,l(costheta,dthetar) = 2integral sin^2theta,dtheta

Passo 3

Usamos a identidade de redução de potência
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2,
então
2integral sin^2theta,dtheta = 2integral 1 - cos(2theta)2,dtheta = integrall(1 - cos(2theta)r),dtheta = theta - sin(2theta)2 + C

Passo 4

Voltaremos a x. Como theta = arcsin x e sin(2theta)=2sinthetacostheta=2xraiz1-x^2, obtemos
theta - sin(2theta)2 + C = arcsin x - 2xraiz1-x^22 + C = arcsin x - xraiz1-x^2 + C

Resposta

boxedarcsin x - xraiz1 - x^2 + C

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