Responda, justificando sua resposta.
(0,3) Se (xn) é uma sequência monótona crescente de números reais tal que xn+1-xn<1 / n então (xn) converge?

Passo 1

O enunciado diz que l(xnr) é uma sequência monótona crescente de números reais e satisfaz
xn+1-xn<1n
Pergunta-se se esta informação basta para garantir que l(xnr) converge. Vamos usar o teorema da convergência de sequências monótonas e construir um contra-exemplo.

Passo 2

Por esse teorema, uma sequência monótona crescente converge se, e somente se, estiver limitada superiormente. Logo, para que l(xnr) converja, seus termos não podem crescer sem limite.

Passo 3

Escrevendo o termo geral como soma das diferenças, temos
xn = x1 + sumk=1^n-1l(xk+1-xkr)
e pela hipótese
xn < x1 + sumk=1^n-11k

Passo 4

Mas a série harmônica
sumk=1^infty1k
é divergente. Isso mostra que, em princípio, o lado direito pode crescer sem limite, de modo que l(xnr) pode ficar sem limite superior.

Passo 5

Um exemplo concreto é definir
x1 = 0, xn+1 = xn + 1n+1
Então para todo n>=1 vale
xn+1-xn = 1n+1 < 1n,
e
xn = sumk=2^n+11k,longrightarrow,infty
Essa sequência é monótona crescente, satisfaz a condição xn+1-xn<1/n e, mesmo assim, diverge.

Passo 6

Concluímos que a condição dada não garante que l(xnr) seja limitada superiormente e, portanto, não garante convergência.

Resposta

Não. A condição xn+1-xn<tfrac1n não implica convergência, pois é possível construir sequências monótonas crescentes que violam a existência de limite finito (por exemplo, usando incrementos da forma 1/(n+1)).

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