Responda, justificando sua resposta.
Se
é uma sequência monótona crescente de números reais tal que
então
converge?
Passo 1
O enunciado diz que
é uma sequência monótona crescente de números reais e satisfaz
Pergunta-se se esta informação basta para garantir que
converge. Vamos usar o teorema da convergência de sequências monótonas e construir um contra-exemplo.
Passo 2
Por esse teorema, uma sequência monótona crescente converge se, e somente se, estiver limitada superiormente. Logo, para que
converja, seus termos não podem crescer sem limite.
Passo 3
Escrevendo o termo geral como soma das diferenças, temos
e pela hipótese
Passo 4
Mas a série harmônica
é divergente. Isso mostra que, em princípio, o lado direito pode crescer sem limite, de modo que
pode ficar sem limite superior.
Passo 5
Um exemplo concreto é definir
Então para todo
vale
e
Essa sequência é monótona crescente, satisfaz a condição
e, mesmo assim, diverge.
Passo 6
Concluímos que a condição dada não garante que
seja limitada superiormente e, portanto, não garante convergência.
Resposta
Não. A condição
não implica convergência, pois é possível construir sequências monótonas crescentes que violam a existência de limite finito (por exemplo, usando incrementos da forma
).