Exercício 2. Seja U subseteq R^n aberto. Prove que são equivalentes:
(i) f in C^1(U, R^m);
(ii) as funções coordenadas fi: U longrightarrow R possuem derivadas parciais partial fipartial xj todas contínuas;
(iii) para x in U e v in R^n, existem as derivadas direcionais partial fpartial v(x) e, além disso, para cada v in R^n,
partial fpartial v: U longrightarrow R^m
é uma função contínua.

Passo 1

O enunciado trata de uma aplicação f:UtoR^m, onde UsubseteqR^n é aberto, e pede para mostrar a equivalência entre três formas de expressar que f é de classe C^1:
(i) f é diferenciável em todo ponto de U e sua diferencial Df é contínua;
(ii) cada componente fi tem todas as derivadas parciais partial fipartial xj existentes e contínuas em U;
(iii) todas as derivadas direcionais partial fpartial v(x) existem e, para cada vetor fixo v, a função xmapstopartial fpartial v(x) é contínua em U.
Conteúdo: teoria de diferenciabilidade em várias variáveis, jacobiano e teorema de existência de derivada total a partir de derivadas parciais contínuas.

Passo 2

Prova de (i)implies(ii). Se fin C^1(U,R^m) então, por definição, em cada xin U existe a diferencial linear Df(x) e a aplicação xmapsto Df(x) é contínua. Escrevendo
Df(x)=l(partial fipartial xj(x)r)!i=1,dots,m^,j=1,dots,n,
vemos que cada partial fipartial xj(x) existe (é a entrada (i,j) de Df(x)) e, como cada entrada de uma matriz contínua é contínua, as derivadas parciais são contínuas em U.

Passo 3

Prova de (ii)implies(i). Suponha que todas as derivadas parciais partial fi/partial xj existem e são contínuas em U. Definimos uma aplicação linear candidata à diferencial em x:
Lx(h)=l(sumj=1^npartial fipartial xj(x),hjr)i=1,dots,m
Queremos mostrar que
limhto0|f(x+h)-f(x)-Lx(h)||h|=0
Para isso, expresse o incremento f(x+h)-f(x) como soma de incrementos parciais em cada coordenada e use o Teorema do Valor Médio em uma variável para cada componente fi. A continuidade de partial fi/partial xj garante que o erro remaider dividido por |h| tende a zero. Logo f é diferenciável em x com diferencial Df(x)=Lx, e a continuidade de cada partial fi/partial xj implica continuidade de Df. Assim fin C^1(U,R^m).

Passo 4

Prova de (i)implies(iii). Se fin C^1 então em cada x e para todo vinR^n a derivada direcional existe e é dada por
partial fpartial v(x)=Df(x),v
Como xmapsto Df(x) é contínua e a multiplicação de operadores lineares por vetores é contínua, a aplicação
x;longmapsto;partial fpartial v(x)
é contínua em U. Logo todas as derivadas direcionais existem e são contínuas.

Passo 5

Prova de (iii)implies(ii). Tomando em (iii) o vetor de direção v=ej (j-ésima base canônica), obtemos exatamente as derivadas parciais
partial fpartial xj(x) =partial fpartial ej(x)
e, pela hipótese, cada função xmapstopartial f/partial ej(x) é contínua. Descompondo em componentes, conclui-se que cada partial fi/partial xj existe e é contínua.

Resposta

As três condições são equivalentes:
(i);Long<=ftrightarrow;(ii);Long<=ftrightarrow;(iii)

Exercícios relacionados