Exercício 2. Seja
aberto. Prove que são equivalentes:
(i)
;
(ii) as funções coordenadas
possuem derivadas parciais
todas contínuas;
(iii) para
e
, existem as derivadas direcionais
e, além disso, para cada
,
é uma função contínua.
(i)
(ii) as funções coordenadas
(iii) para
Passo 1
O enunciado trata de uma aplicação
, onde
é aberto, e pede para mostrar a equivalência entre três formas de expressar que
é de classe
:
(i) é diferenciável em todo ponto de
e sua diferencial
é contínua;
(ii) cada componente tem todas as derivadas parciais
existentes e contínuas em
;
(iii) todas as derivadas direcionais existem e, para cada vetor fixo
, a função
é contínua em
.
(i)
(ii) cada componente
(iii) todas as derivadas direcionais
Conteúdo: teoria de diferenciabilidade em várias variáveis, jacobiano e teorema de existência de derivada total a partir de derivadas parciais contínuas.
Passo 2
Prova de
. Se
então, por definição, em cada
existe a diferencial linear
e a aplicação
é contínua. Escrevendo
vemos que cada
existe (é a entrada
de
) e, como cada entrada de uma matriz contínua é contínua, as derivadas parciais são contínuas em
.
Passo 3
Prova de
. Suponha que todas as derivadas parciais
existem e são contínuas em
. Definimos uma aplicação linear candidata à diferencial em
:
Queremos mostrar que
Para isso, expresse o incremento
como soma de incrementos parciais em cada coordenada e use o Teorema do Valor Médio em uma variável para cada componente
. A continuidade de
garante que o erro remaider dividido por
tende a zero. Logo
é diferenciável em
com diferencial
, e a continuidade de cada
implica continuidade de
. Assim
.
Passo 4
Prova de
. Se
então em cada
e para todo
a derivada direcional existe e é dada por
Como
é contínua e a multiplicação de operadores lineares por vetores é contínua, a aplicação
é contínua em
. Logo todas as derivadas direcionais existem e são contínuas.
Passo 5
Prova de
. Tomando em
o vetor de direção
(j-ésima base canônica), obtemos exatamente as derivadas parciais
e, pela hipótese, cada função
é contínua. Descompondo em componentes, conclui-se que cada
existe e é contínua.
Resposta
As três condições são equivalentes: