Determine:
(1pt) integral0^1 / 2 2 xraiz1-x^2 d x
integral0^1 / 2 2 xraiz1-x^2 d x stackrelx=sen theta= 2 integral0^pi / 6 sen theta d theta=-2[cos theta]0^pi / 6=2-raiz3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1/22xraiz1 - x^2,dx
O conteúdo principal é o uso de substituição trigonométrica, em que vamos aproveitar que raiz1 - x^2 sugere x=sintheta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = sintheta, dx = costheta,dtheta, raiz1 - x^2 = costheta
Quando x=0 vem theta=0, e quando x=tfrac12 vem theta=pi/6.

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral0^1/22xraiz1 - x^2,dx = integral0^pi/62sinthetacostheta,l(costheta,dthetar) = 2integral0^pi/6sintheta,dtheta

Passo 4

Sabemos que
integralsintheta,dtheta = -costheta + C,
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2integral0^pi/6sintheta,dtheta = -2l[costhetar]0^pi/6 = -2l(cos(tfracpi6) - cos(0)r)

Passo 5

Como cos(tfracpi6) = tfracraiz32 e cos(0)=1, temos
-2l(tfracraiz32-1r) = -raiz3 + 2 = 2 - raiz3

Resposta

2 - raiz3

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