Escreva, de forma mais simples possível, a:
20^a derivada da função g(x)=1x

Passo 1

O enunciado pede a vigésima derivada da função
g(x)=1x.
O assunto é derivada de funções do tipo x^a e vamos usar a fórmula do n-ésimo derivado de uma potência.

Passo 2

Reescrevendo g(x)=1x como
g(x)=x^-1,
sabemos que, para qualquer expoente a e qualquer ninN, vale
d^ndx^nx^a=a,(a-1),(a-2)cdots(a-n+1);x^,a-n

Passo 3

Aplicando essa fórmula com a=-1, obtemos para a n-ésima derivada de g:
g^(n)(x)=(-1),(-2),(-3)cdots[-(n)];x^-1-n

Passo 4

Note que o produto
(-1),(-2),(-3)cdots(-n)
é igual a (-1)^n,n!. Logo
g^(n)(x)=(-1)^n,n!;x^-1-n

Passo 5

Bastapor especializar n=20:
g^(20)(x)=(-1)^20,20!;x^-21
Como (-1)^20=1, temos
g^(20)(x)=20!;x^-21

Resposta

g^(20)(x)=20!x^21

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