Exercício 4. Resolva os itens abaixo.
Seja u: R^d longrightarrow R a função cuja lei é u(x)=|x|^2 / 2. Prove que u é diferenciável e que
d u(x)=x^t e nabla u(x)=x
A notação x^t acima significa o seguinte: para cada x in R^d fixado, x^t: R^d longrightarrow R é o funcional linear dado por
x^t(v)=lang<= v, xrang<=

Passo 1

O enunciado define a função
u:R^dtoR, u(x)=|x|^22,
e pede para mostrar que u é diferenciável em todo xinR^d, calcular o diferencial du(x) e o gradiente nabla u(x). Vamos usar diretamente a definição de diferenciabilidade em R^d: u é diferenciável em x se existe um funcional linear Lx tal que, para todo vetor hinR^d,
u(x+h)-u(x)-Lx(h)=o(|h|)

Passo 2

Calculemos o incremento u(x+h)-u(x). Pela identidade
|x+h|^2 = |x|^2 + 2lang<= x,hrang<= + |h|^2
temos
u(x+h)-u(x) =|x+h|^2-|x|^22 =2lang<= x,hrang<= + |h|^22 =lang<= x,hrang<= + |h|^22

Passo 3

Comparemos com um funcional linear candidato Lx(h)=lang<= x,hrang<=. Então
u(x+h)-u(x)-Lx(h) =|h|^22
Chamemos este resto de R(h); note que
R(h)=|h|^22 Longrightarrow R(h)|h|=|h|^22|h|=|h|2to0 quando |h|to0
Isso mostra exatamente que R(h)=o(|h|), logo u é diferenciável e o diferencial em x é o funcional linear
du(x)=Lx, Lx(h)=lang<= x,hrang<=

Passo 4

Finalmente, pela identificação padrão entre diferenciais e gradientes em R^d, sabemos que existe um vetor nabla u(x) tal que
du(x),(h)=lang<=nabla u(x),,hrang<=
Como já vimos que du(x)(h)=lang<= x,hrang<=, segue-se que
nabla u(x)=x

Resposta

u é diferenciável em todo xinR^d,
du(x)=x^t, nabla u(x)=x

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