Exercício 4. Resolva os itens abaixo.
Seja
a função cuja lei é
. Prove que
é diferenciável e que
A notação
acima significa o seguinte: para cada
fixado,
é o funcional linear dado por
Seja
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que
é diferenciável em todo
, calcular o diferencial
e o gradiente
. Vamos usar diretamente a definição de diferenciabilidade em
:
é diferenciável em
se existe um funcional linear
tal que, para todo vetor
,
Passo 2
Calculemos o incremento
. Pela identidade
temos
Passo 3
Comparemos com um funcional linear candidato
. Então
Chamemos este resto de
; note que
Isso mostra exatamente que
, logo
é diferenciável e o diferencial em
é o funcional linear
Passo 4
Finalmente, pela identificação padrão entre diferenciais e gradientes em
, sabemos que existe um vetor
tal que
Como já vimos que
, segue-se que