Sobre o crescimento e decrescimento da função
definida por
podemos afirmar que:
Escolha uma opção:
◯ a.
é crescente no intervalo
.
◯ b.
é crescente nos intervalos
e
e
é decrescente no intervalo
.
◯ C.
é decrescente nos intervalos
e
e
é crescente no intervalo
.
◯ d.
é decrescente nos intervalos
e
é crescente no intervalo
.
◯ e.
é crescente nos intervalos
e
é derrescante no intervalo (1/9,
).
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ C.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
A pergunta é: entre as alternativas fornecidas, qual descreve corretamente os intervalos em que
é crescente ou decrescente?
Informações relevantes fornecidas:
- A função é um polinômio cúbico explícito:
. - Precisa-se identificar intervalos de crescimento (onde a função é crescente) e de decrescimento (onde é decrescente) e comparar com as opções (a)–(e).
Passo 2
Conceito usado (explicação didática): para funções diferenciáveis, o sinal da derivada informa crescimento/decrescimento:
- Se
em um intervalo, então é crescente nesse intervalo (a reta tangente tem inclinação positiva). - Se
em um intervalo, então é decrescente nesse intervalo (a reta tangente tem inclinação negativa).
Agora vamos calcular a derivada de
. Derivando termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Portanto, a derivada é
Passo 3
Fatorando
para achar os pontos críticos (raízes de
):
Primeiro fator comum :
Primeiro fator comum
O trinômio
fatoriza como
porque
e
somam
. Assim
As raízes de
são os pontos
e
. Esses são os pontos onde o sinal de
pode mudar.
Passo 4
Análise de sinal de
. O fator
é positivo e não altera o sinal, então o sinal de
vem do produto
.
Vamos testar um número em cada intervalo determinado pelas raízes
e
:
-
Para
(por exemplo ): Produto: negativonegativo positivo. Logo em . -
Para
(por exemplo ): Produto: negativopositivo negativo. Logo em . -
Para
(por exemplo ): Produto: positivopositivo positivo. Logo em .
Resumo do sinal de
:
Passo 5
Interpretação em termos de crescimento/decrescimento:
- Onde
, é crescente. Portanto é crescente em e em . - Onde
, é decrescente. Portanto é decrescente em .
Isso corresponde exatamente à alternativa (b).
Observação adicional (útil para prova): em
a função passa de crescente para decrescente, logo há um máximo local em
; em
passa de decrescente para crescente, logo há um mínimo local em
.
Resposta
(b)