Sobre o crescimento e decrescimento da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-12 x+12 podemos afirmar que:
Escolha uma opção:
◯ a. f é crescente no intervalo (-\infty,+\infty).
◯ b. f é crescente nos intervalos (-\infty,-1) e (2,+\infty) e f é decrescente no intervalo (-1,2).
◯ C. f é decrescente nos intervalos (-\infty,-1) e (2,+\infty) e f é crescente no intervalo (-1,2).
◯ d. f é decrescente nos intervalos (-\infty, 1 / 2) e f é crescente no intervalo (1 / 2,+\infty).
◯ e. f é crescente nos intervalos (-\infty, 1 / 2) e f é derrescante no intervalo (1/9, +\infty ).

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+12.
A pergunta é: entre as alternativas fornecidas, qual descreve corretamente os intervalos em que f é crescente ou decrescente?
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um polinômio cúbico explícito: f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+12.
  • Precisa-se identificar intervalos de crescimento (onde a função é crescente) e de decrescimento (onde é decrescente) e comparar com as opções (a)–(e).

Passo 2

Conceito usado (explicação didática): para funções diferenciáveis, o sinal da derivada informa crescimento/decrescimento:
  • Se f'(x)>0 em um intervalo, então f é crescente nesse intervalo (a reta tangente tem inclinação positiva).
  • Se f'(x)<0 em um intervalo, então f é decrescente nesse intervalo (a reta tangente tem inclinação negativa).
Agora vamos calcular a derivada de f. Derivando termo a termo:
  • A derivada de 2x^{3} é 6x^{2}.
  • A derivada de -3x^{2} é -6x.
  • A derivada de -12x é -12.
  • A derivada de 12 é 0.
Portanto, a derivada é
f'(x)=6x^{2}-6x-12.

Passo 3

Fatorando f'(x) para achar os pontos críticos (raízes de f'):
Primeiro fator comum 6:
f'(x)=6\bigl(x^{2}-x-2\bigr).
O trinômio x^{2}-x-2 fatoriza como (x-2)(x+1) porque -2 e 1 somam -1. Assim
f'(x)=6(x-2)(x+1).
As raízes de f'(x)=0 são os pontos x=-1 e x=2. Esses são os pontos onde o sinal de f' pode mudar.

Passo 4

Análise de sinal de f'(x)=6(x-2)(x+1). O fator 6 é positivo e não altera o sinal, então o sinal de f' vem do produto (x-2)(x+1).
Vamos testar um número em cada intervalo determinado pelas raízes -1 e 2:
  • Para x<-1 (por exemplo x=-2):
    (x-2)=(-2-2)=-4\quad(\text{negativo}),\qquad (x+1)=(-2+1)=-1\quad(\text{negativo}).
    Produto: negativo \times negativo = positivo. Logo f'(x)>0 em (-\infty,-1).
  • Para -1<x<2 (por exemplo x=0):
    (x-2)=(0-2)=-2\quad(\text{negativo}),\qquad (x+1)=(0+1)=1\quad(\text{positivo}).
    Produto: negativo \times positivo = negativo. Logo f'(x)<0 em (-1,2).
  • Para x>2 (por exemplo x=3):
    (x-2)=(3-2)=1\quad(\text{positivo}),\qquad (x+1)=(3+1)=4\quad(\text{positivo}).
    Produto: positivo \times positivo = positivo. Logo f'(x)>0 em (2,+\infty).
Resumo do sinal de f':
f'(x)>0\\ \text{em}\\ (-\infty,-1)\\ \text{e em}\\ (2,+\infty);\qquad f'(x)<0\\ \text{em}\\ (-1,2).

Passo 5

Interpretação em termos de crescimento/decrescimento:
  • Onde f'(x)>0, f é crescente. Portanto f é crescente em (-\infty,-1) e em (2,+\infty).
  • Onde f'(x)<0, f é decrescente. Portanto f é decrescente em (-1,2).
Isso corresponde exatamente à alternativa (b).
Observação adicional (útil para prova): em x=-1 a função passa de crescente para decrescente, logo há um máximo local em x=-1; em x=2 passa de decrescente para crescente, logo há um mínimo local em x=2.

Resposta

(b)

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