A receita mensal em reais de um serviço de pesquisa por telefone é relacionada ao número x de respostas pela função R(x)=-13450+60 \sqrt{6 x^{2}+20 x}, onde 0 \leq x \leq 1500. Se o número de respostas completas estiver aumentando à taxa de 10 formulários por mês, determine a taxa na qual (mensalmente) a receita está mudando quando x=700.
Escolha uma opção:
◯ a. 700,00
◯ b. 1769,50
◯ c. 1000,70
◯ d. 1470,00
◯ e. 1469,70
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele fornece: \n
A receita mensal em reais é dada por R(x) = -13450 + 60 \sqrt{6 x^{2} + 20 x}, para 0 \leq x \leq 1500. \n
A variável x é o número de respostas completas por mês. \n
Foi informado que x está aumentando à taxa de \dfrac{dx}{dt} = 10 formulários por mês. \n
A pergunta: determinar a taxa de variação da receita mensal \dfrac{dR}{dt} quando x = 700. \n
Ou seja, é preciso calcular numericamente \dfrac{dR}{dt} em x=700 com \dfrac{dx}{dt}=10.
Passo 2
Derivar R(x) em função de x passo a passo (aqui ensinando a regra usada). \n
Regra útil: se R(x) = a + b\sqrt{u(x)}, então a derivada é
\frac{dR}{dx} = b\cdot\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Isto vem da regra da cadeia: a derivada de \sqrt{u} é \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}. \n
No nosso caso u(x)=6x^{2}+20x. Então
Passar da derivada em relação a x para a derivada em relação ao tempo t. \n
Regra da cadeia para variação temporal: quando R depende de x que depende de t,
Aproximar a raiz quadrada e executar a divisão (mostrando método de aproximação por quadrados conhecidos). \n
Observação: 1719^{2}=2954961, que é ligeiramente maior que 2954000. A diferença é 2954961-2954000=961. Usando a aproximação por desenvolvimento linear da raiz: