A receita mensal em reais de um serviço de pesquisa por telefone é relacionada ao número x de respostas pela função R(x)=-13450+60 \sqrt{6 x^{2}+20 x}, onde 0 \leq x \leq 1500. Se o número de respostas completas estiver aumentando à taxa de 10 formulários por mês, determine a taxa na qual (mensalmente) a receita está mudando quando x=700.
Escolha uma opção:
◯ a. 700,00
◯ b. 1769,50
◯ c. 1000,70
◯ d. 1470,00
◯ e. 1469,70

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele fornece: \n
  • A receita mensal em reais é dada por R(x) = -13450 + 60 \sqrt{6 x^{2} + 20 x}, para 0 \leq x \leq 1500. \n
  • A variável x é o número de respostas completas por mês. \n
  • Foi informado que x está aumentando à taxa de \dfrac{dx}{dt} = 10 formulários por mês. \n
  • A pergunta: determinar a taxa de variação da receita mensal \dfrac{dR}{dt} quando x = 700. \n
  • Ou seja, é preciso calcular numericamente \dfrac{dR}{dt} em x=700 com \dfrac{dx}{dt}=10.

Passo 2

Derivar R(x) em função de x passo a passo (aqui ensinando a regra usada). \n
Regra útil: se R(x) = a + b\sqrt{u(x)}, então a derivada é
\frac{dR}{dx} = b\cdot\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Isto vem da regra da cadeia: a derivada de \sqrt{u} é \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}. \n
No nosso caso u(x)=6x^{2}+20x. Então
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(6x^{2}+20x\big)=12x+20.
Aplicando a fórmula:
\frac{dR}{dx}=60\cdot\frac{12x+20}{2\sqrt{6x^{2}+20x}}.
Simplificando o fator 60/2=30:
\frac{dR}{dx}=30\cdot\frac{12x+20}{\sqrt{6x^{2}+20x}}.
Multiplicando o numerador:
\frac{dR}{dx}=\frac{360x+600}{\sqrt{6x^{2}+20x}}.

Passo 3

Passar da derivada em relação a x para a derivada em relação ao tempo t. \n
Regra da cadeia para variação temporal: quando R depende de x que depende de t,
\frac{dR}{dt}=\frac{dR}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Substituindo \dfrac{dR}{dx} e \dfrac{dx}{dt}=10:
\frac{dR}{dt}=\frac{360x+600}{\sqrt{6x^{2}+20x}}\cdot 10 =\frac{3600x+6000}{\sqrt{6x^{2}+20x}}.

Passo 4

Avaliar em x=700. Primeiro calcule o radicando:
6x^{2}+20x \Big|_{x=700} = 6\cdot 700^{2} + 20\cdot 700.
Calcule passo a passo:
700^{2}=490000,
6\cdot 490000 = 2940000,
20\cdot 700 = 14000,
2940000+14000 = 2954000.
Portanto o denominador é \sqrt{2954000}. O numerador é
3600x+6000 \Big|_{x=700} = 3600\cdot700 + 6000 = 2520000 + 6000 = 2526000.
Assim
\frac{dR}{dt}\Big|_{x=700} = \frac{2526000}{\sqrt{2954000}}.

Passo 5

Aproximar a raiz quadrada e executar a divisão (mostrando método de aproximação por quadrados conhecidos). \n
Observação: 1719^{2}=2954961, que é ligeiramente maior que 2954000. A diferença é 2954961-2954000=961. Usando a aproximação por desenvolvimento linear da raiz:
\sqrt{2954000}\approx 1719 - \frac{961}{2\cdot 1719}\approx 1719 - 0{,}28\approx 1718{,}72.
Agora faça a divisão:
\frac{dR}{dt}\Big|_{x=700}\approx \frac{2526000}{1718{,}72}\approx 1469{,}70.
A unidade é reais por mês (R /mês). \n
Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (e).

Resposta

(e) 1469,70

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