Determine a+b, 2 a+3 b,|a| ∈|a-b|.
a=4 i+j, \quad b=i-2 j

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no plano e pede que a gente determine quatro coisas: a+b, 2a+3b, |a| e |a-b|. As informações fornecidas são:
a = 4i + j,
b = i - 2j.
Portanto as perguntas que vamos responder são:
\text{(i) } a+b,\qquad \text{(ii) } 2a+3b,\qquad \text{(iii) } |a|,\qquad \text{(iv) } |a-b|.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever os vetores pelas suas componentes (isto facilita contas). Usando a base canônica (i,j) temos
a = (4,\,1),
b = (1,\,-2).
Aqui eu chamo de 4 e 1 as componentes x e y de a, e de 1 e -2 as componentes x e y de b.

Passo 3

Como somar vetores: somamos componente a componente. Se u=(u_x,u_y) e v=(v_x,v_y) então
u+v=(u_x+v_x,\;u_y+v_y).
Aplicando para a e b:
a+b = (4+1,\;1+(-2)) = (5,\,-1).
Em notação com i,j isso é
a+b = 5i - j.

Passo 4

Como multiplicar um vetor por escalar: se \lambda é escalar e u=(u_x,u_y) então
\lambda u=(\lambda u_x,\;\lambda u_y).
Calculamos 2a e 3b separadamente:
2a = 2\cdot(4,1) = (8,2),
3b = 3\cdot(1,-2) = (3,-6).
Agora somamos 2a+3b componente a componente:
2a+3b = (8+3,\;2+(-6)) = (11,\,-4).
Em i,j:
2a+3b = 11i - 4j.

Passo 5

Agora a norma (módulo) de um vetor: para u=(u_x,u_y) a fórmula é
|u| = \sqrt{u_x^{2} + u_y^{2}}.
Explico: essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras — a norma é a distância do ponto (u_x,u_y) até a origem (0,0).
Aplicando a a=(4,1):
|a| = \sqrt{4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}.

Passo 6

Para |a-b| primeiro calculamos a-b componente a componente:
a-b = (4-1,\;1-(-2)) = (3,\;3).
Agora aplicamos a fórmula da norma:
|a-b| = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}.
Simplificando a raiz:
\sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = 3\sqrt{2}.

Passo 7

Resumo rápido do que fizemos (para você lembrar na prova): somar vetores = somar componentes; multiplicar por escalar = multiplicar cada componente; norma = raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes. Se seguir esses três passos nas questões de vetores, você resolve a maioria das operações básicas.

Resposta

a+b = 5i - j
2a+3b = 11i - 4j
|a| = \sqrt{17}
|a-b| = 3\sqrt{2}

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