Determine a+b, 2 a+3 b,|a| ∈|a-b|.
a=(5,-12), \quad b=(-3,-6)

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,a=(5,-12)\, e \,b=(-3,-6)\, e pede para determinar os seguintes itens:
\,a+b\,,\;\;2a+3b\,,\;\;|a|\;\text{ e }\;|a-b|.
As informações relevantes são as coordenadas de a e b: para a temos a_1=5 e a_2=-12; para b temos b_1=-3 e b_2=-6.

Passo 2

Soma de vetores em coordenadas: se \,u=(u_1,u_2)\, e \,v=(v_1,v_2)\, então
u+v=(u_1+v_1,\;u_2+v_2).
Aplicando isso a \,a+b: calcule componente a componente:
a+b=(5+(-3),\;-12+(-6)).
Faço as somas:
5+(-3)=2,\qquad -12+(-6)=-18.
Portanto
a+b=(2,-18).

Passo 3

Multiplicação escalar e combinação linear: para \lambda\in\mathbb{R} e u=(u_1,u_2) temos
\lambda u=(\lambda u_1,\;\lambda u_2).
Primeiro calculo 2a e 3b:
2a=(2\cdot5,\;2\cdot(-12))=(10,-24),
3b=(3\cdot(-3),\;3\cdot(-6))=(-9,-18).
Agora somo os dois vetores:
2a+3b=(10+(-9),\;-24+(-18)).
Faço as somas:
10+(-9)=1,\qquad -24+(-18)=-42.
Logo
2a+3b=(1,-42).

Passo 4

Norma euclidiana em \mathbb{R}^2: para v=(v_1,v_2) a norma (ou módulo) é
|v|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}}.
Aplicando a fórmula em a=(5,-12):
|a|=\sqrt{5^{2}+(-12)^{2}}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.
Expliquei cada termo: 5^{2}=25 e (-12)^{2}=144; somei e extraí a raiz quadrada.

Passo 5

Para |a-b| primeiro calculo a-b. Subtração de vetores é soma com o negativo:
a-b=(5-(-3),\;-12-(-6)).
Faço as diferenças:
5-(-3)=8,\qquad -12-(-6)=-6.
Então
a-b=(8,-6).
Agora aplico a norma:
|a-b|=\sqrt{8^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10.

Resposta

a+b=(2,-18)\n
2a+3b=(1,-42)\n
|a|=13\n
|a-b|=10

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