Determine a+b, 2 a+3 b,|a| ∈|a-b|.
Passo 1
O enunciado fornece os vetores
e pede quatro coisas: calcular
, calcular
, calcular
(o módulo de
) e calcular
(o módulo da diferença). Todas as informações necessárias estão no enunciado.
Passo 2
Primeiro vamos escrever os vetores em coordenadas (componentes) para facilitar operações. Para isso associamos as componentes nas direções
:
Isso vem diretamente dos coeficientes de
dados no enunciado.
Passo 3
Explicação rápida sobre soma de vetores: somamos componente a componente. Se
e
, então
Aplicando a isso:
Voltando para a notação com versores:
Passo 4
Agora vamos calcular
. Primeiro lembrar: multiplicação de vetor por escalar multiplica cada componente pelo escalar. Se
é escalar e
, então
.
Calculemos:
Somando componente a componente:
Em versores:
Passo 5
Agora vamos falar de módulo (norma) de um vetor. Para um vetor
em
, o módulo
é dado por
Isso vem do teorema de Pitágoras generalizado em 3D: soma dos quadrados das componentes e raiz quadrada.
Aplicando para
:
Passo 6
Para
primeiro calculamos
. Diferença também é componente a componente:
Agora aplicamos a fórmula do módulo:
Não há simplificação inteira de
, então deixamos assim.