Determine a+b, 2 a+3 b,|a| ∈|a-b|.
a=2 i-4 j+4 k, \quad b=2 j-k

Passo 1

O enunciado fornece os vetores
\mathbf{a}=2\mathbf{i}-4\mathbf{j}+4\mathbf{k},\qquad \mathbf{b}=2\mathbf{j}-\mathbf{k}
e pede quatro coisas: calcular \mathbf{a}+\mathbf{b}, calcular 2\mathbf{a}+3\mathbf{b}, calcular |\mathbf{a}| (o módulo de \mathbf{a}) e calcular |\mathbf{a}-\mathbf{b}| (o módulo da diferença). Todas as informações necessárias estão no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos escrever os vetores em coordenadas (componentes) para facilitar operações. Para isso associamos as componentes nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\mathbf{a}=(2,\,-4,\,4),\qquad \mathbf{b}=(0,\,2,\,-1).
Isso vem diretamente dos coeficientes de \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} dados no enunciado.

Passo 3

Explicação rápida sobre soma de vetores: somamos componente a componente. Se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3).
Aplicando a isso:
\mathbf{a}+\mathbf{b}=(2+0,\; -4+2,\; 4+(-1))=(2,\,-2,\,3).
Voltando para a notação com versores:
\mathbf{a}+\mathbf{b}=2\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k}.

Passo 4

Agora vamos calcular 2\mathbf{a}+3\mathbf{b}. Primeiro lembrar: multiplicação de vetor por escalar multiplica cada componente pelo escalar. Se \lambda é escalar e \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3), então \lambda\mathbf{u}=(\lambda u_1,\lambda u_2,\lambda u_3).
Calculemos:
2\mathbf{a}=2\cdot(2,\,-4,\,4)=(4,\,-8,\,8),
3\mathbf{b}=3\cdot(0,\,2,\,-1)=(0,\,6,\,-3).
Somando componente a componente:
2\mathbf{a}+3\mathbf{b}=(4+0,\; -8+6,\; 8+(-3))=(4,\,-2,\,5).
Em versores:
2\mathbf{a}+3\mathbf{b}=4\mathbf{i}-2\mathbf{j}+5\mathbf{k}.

Passo 5

Agora vamos falar de módulo (norma) de um vetor. Para um vetor \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) em \mathbb{R}^3, o módulo |\mathbf{u}| é dado por
|\mathbf{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
Isso vem do teorema de Pitágoras generalizado em 3D: soma dos quadrados das componentes e raiz quadrada.
Aplicando para \mathbf{a}=(2,-4,4):
|\mathbf{a}|=\sqrt{2^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6.

Passo 6

Para |\mathbf{a}-\mathbf{b}| primeiro calculamos \mathbf{a}-\mathbf{b}. Diferença também é componente a componente:
\mathbf{a}-\mathbf{b}=(2-0,\; -4-2,\; 4-(-1))=(2,\,-6,\,5).
Agora aplicamos a fórmula do módulo:
|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=\sqrt{2^2+(-6)^2+5^2}=\sqrt{4+36+25}=\sqrt{65}.
Não há simplificação inteira de \sqrt{65}, então deixamos assim.

Resposta

\mathbf{a}+\mathbf{b}=2\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k}
2\mathbf{a}+3\mathbf{b}=4\mathbf{i}-2\mathbf{j}+5\mathbf{k}
|\mathbf{a}|=6
|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=\sqrt{65}

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