Determine a abscissa do ponto no qual a reta tangente à curva y=cosh x faz com o eixo- x um ângulo de pi4 radianos.

Passo 1

O enunciado pede a abscissa x de um ponto da curva y=cosh x tal que a reta tangente a essa curva nesse ponto forme com o eixo- x um ângulo de tfracpi4. Para resolver, precisamos usar derivadas para achar o coeficiente angular da reta tangente e relacioná-lo ao ângulo dado.

Passo 2

O coeficiente angular da reta tangente à curva y=cosh x em x é dado pela derivada
y'=ddxl(cosh xr)=sinh x
Se a reta tangente faz ângulo tfracpi4 com o eixo x, seu coeficiente angular deve ser
m=tan!l(tfracpi4r)=1
Logo, igualamos
sinh x = 1

Passo 3

Para resolver sinh x=1, usamos a definição da função inversa:
x = arsinh(1)
E sabemos que
arsinh(u)=lnl(u+raizu^2+1r),
portanto, para u=1,
x = lnl(1+raiz1^2+1r) = lnl(1+raiz2r)

Resposta

A abscissa é
x = lnl(1+raiz2r)

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