Determine a derivada da função g(x)=sen^2(cos (x^2+1)).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=sin^2l(cos(x^2+1)r)
O conteúdo principal é derivada de função composta, então vamos aplicar a regra da cadeia duas vezes.

Passo 2

Para o nível mais externo, defina
h(u)=sin^2(u)
Usando regra da cadeia em h(u), temos
h'(u)=2sin(u)cos(u)
Logo
g'(x)=2sinl(cos(x^2+1)r),cosl(cos(x^2+1)r);ddxl[cos(x^2+1)r]

Passo 3

Agora derivamos o nível intermediário. Seja v(x)=x^2+1. Então
ddxl[cos(v(x))r] =-sinl(v(x)r),v'(x)
Como v'(x)=2x, obtemos
ddxl[cos(x^2+1)r] =-sin(x^2+1)cdot2x

Passo 4

Substituindo esse resultado em g'(x), vem
g'(x) =2sinl(cos(x^2+1)r),cosl(cos(x^2+1)r);l(-2xsin(x^2+1)r)
Reordenando o fator -2x,
g'(x)=-4x,sinl(cos(x^2+1)r),cosl(cos(x^2+1)r),sin(x^2+1)

Passo 5

Podemos usar a identidade sin(2alpha)=2sin(alpha)cos(alpha) para simplificar:
2sinl(cos(x^2+1)r)cosl(cos(x^2+1)r) =sinl(2cos(x^2+1)r)
Assim uma forma mais enxuta é
g'(x)=-2x,sinl(2cos(x^2+1)r),sin(x^2+1)

Resposta

g'(x)=-4x,sinl(cos(x^2+1)r),cosl(cos(x^2+1)r),sin(x^2+1),
ou equivalentemente
g'(x)=-2x,sinl(2cos(x^2+1)r),sin(x^2+1)

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