Use coordenadas polares e calcule as integrais abaixo:
integral0^a(integral0^raiza^2-y^2(x^2+y^2) d x) d y

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
integral0^al(integral0^raiza^2-y^2(x^2+y^2),dxr),dy
usando coordenadas polares. O conteúdo aqui é mudança de variável em integrais duplas, então vamos precisar descrever o domínio em polares, usar
;x=rcostheta,;y=rsintheta;
e o fator Jacobiano ,r,.

Passo 2

Interpretamos a integral como
integral duplaD(x^2+y^2),dA,
onde
D=l(x,y)mid 0<= y<= a,;0<= x<=raiza^2-y^2r
Esse domínio é exatamente o quarto de disco de raio a no primeiro quadrante.

Passo 3

Em coordenadas polares temos
x=rcostheta, y=rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
e
x^2+y^2=r^2
Como D é o quarto de disco, os limites são
0<= r<= a, 0<= theta<= tfracpi2
Portanto a integral vira
integraltheta=0^pi/2integralr=0^ar^2,(r,dr,dtheta) =integral0^pi/2integral0^ar^3,dr,dtheta

Passo 4

Calculando em duas etapas:
integral0^ar^3,dr =l[tfracr^44r]0^a =a^44,
e depois
integral0^pi/2!dtheta =pi2
Multiplicando dá
a^44cdotpi2 =pi,a^48

Resposta

pi,a^48

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