Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Um “multiplicador de Lagrange” é um tipo especial de vetor gradiente.
Um “multiplicador de Lagrange” é um tipo especial de vetor gradiente.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e justificar a resposta:
“Um ‘multiplicador de Lagrange’ é um tipo especial de vetor gradiente.”
Informações dadas pelo enunciado: a afirmação compara o objeto chamado “multiplicador de Lagrange” com um “vetor gradiente”. Não há outras condições nem dados numéricos.
“Um ‘multiplicador de Lagrange’ é um tipo especial de vetor gradiente.”
Informações dadas pelo enunciado: a afirmação compara o objeto chamado “multiplicador de Lagrange” com um “vetor gradiente”. Não há outras condições nem dados numéricos.
Passo 2
O que é um gradiente? Vou explicar bem básico e devagar. Seja uma função
. O gradiente de
é o vetor formado pelas derivadas parciais de
. Em notação:
Intuição:
é um vetor que indica a direção de maior crescimento de
em
e seu comprimento mede a taxa de crescimento nessa direção. Portanto, o gradiente é um vetor (tem
componentes) e cada componente é uma derivada parcial.
Passo 3
O que é um multiplicador de Lagrange? Vou apresentar a ideia no caso simples de uma restrição de igualdade (o caso clássico). Considere o problema de otimização
onde
. A técnica dos multiplicadores de Lagrange constrói a função lagrangiana
onde
é o multiplicador de Lagrange (a convenção de sinal pode variar: alguns usam
). As condições de primeira ordem (estacionaridade) exigem
ou seja
Rearranjando:
Observe atentamente o papel de cada objeto nesta equação:
-
e são vetores em (gradientes). -
é um número real (um escalar) — no caso de uma única restrição. Para várias restrições teremos vários multiplicadores e a condição fica
onde
é um vetor de escalares.
Portanto, o multiplicador de Lagrange é um escalar (ou, no caso de várias restrições, um vetor cujas componentes são escalares), usado como coeficiente na combinação linear dos gradientes das restrições.
Passo 4
Exemplo concreto e resolvido para fixar a ideia. Minimizemos
sujeito a
.
- Calcule os gradientes:
- Pela condição
:
Isto dá o sistema de equações escalares
e
, logo
.
- Use a restrição
com : , então . - Encontre
: .
Resultado: o multiplicador
é um número (aqui
), enquanto
e
são vetores. O multiplicador apenas escala o vetor
para igualar
. Logo
não é ele próprio um gradiente.
Passo 5
Comentários finais e casos especiais (para não deixar dúvida):
- Se houver várias restrições, fala-se em vetor de multiplicadores
. Ainda assim, cada é um escalar que atua como coeficiente na combinação linear dos vetores . O vetor é um vetor de coeficientes, não um vetor gradiente. - Em pontos singulares onde
as hipóteses clássicas da técnica podem falhar (caso degenerado), e a interpretação precisa de cuidado — mas isso não transforma o multiplicador em um gradiente. - Em interpretação econômica/controle, multiplicadores são frequentemente chamados de “preços sombra” ou “co-estados”: são quantidades escalares com significado de taxa de variação do ótimo em relação à restrição. Isso reforça que são escalares (ou vetor de escalares), não gradientes.
Passo 6
Conclusão lógica e direta: a afirmação dada é incorreta porque um multiplicador de Lagrange é um(escalare(s) que atua(m) como coeficiente(es) na relação entre gradientes, e não um gradiente em si.
Resposta
Falsa.