Região de integração: todos os pontos (x,y) com x^{2}+y^{2}\leqslant 1 (disco de raio 1 centrado na origem).
Objetivo: calcular o valor numérico da integral dupla acima.
Passo 2
Por que escolher coordenadas polares (explicação didática)?
A região D é um disco centrado na origem; em coordenadas polares um disco fica com limites muito simples.
A função x^{2}+y^{2} depende só da distância ao centro; em polares isso fica ainda mais simples.
Então vamos trocar de coordenadas usando as relações (definição de coordenadas polares):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo polar.
Passo 3
Explicando o elemento de área em polares (a tal do “Jacobiano”), passo a passo:
No plano cartesiano, o elemento de área é dA = dx\,dy.
Em polares, um pequeno retângulo nos parâmetros (r,\theta) com lados dr e d\theta mapeia para um elemento de área aproximado com lados de comprimento dr (direção radial) e r\,d\theta (arco na direção angular).
Logo a área desse pequeno pedaço é aproximadamente dr\cdot (r\,d\theta)= r\,dr\,d\theta.
Por isso, ao trocar para polares usamos
Portanto a integranda x^{2}+y^{2} vira simplesmente r^{2} em coordenadas polares.
Multiplicando pelo elemento de área dA = r\,dr\,d\theta, o integrando total fica r^{2}\cdot r = r^{3}.
Passo 5
Determinar os limites de integração em (r,\theta):
Como D é o disco de raio 1 centrado na origem, r varia de 0 até 1.
Para cobrir todo o disco em ângulo, \theta varia de 0 até 2\pi.
Logo a integral dupla passa a ser a integral iterada