& 1) \iint_{D}\left(x{2}+y{2}\right) d A onde \
& D=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x{2}+y{2} \leqslant 1\right} .
\end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA
onde a região D é o disco unitário
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leqslant 1\}.
Informações dadas e pedido, resumido:
  • Integrando: x^{2}+y^{2}.
  • Região de integração: todos os pontos (x,y) com x^{2}+y^{2}\leqslant 1 (disco de raio 1 centrado na origem).
  • Objetivo: calcular o valor numérico da integral dupla acima.

Passo 2

Por que escolher coordenadas polares (explicação didática)?
  • A região D é um disco centrado na origem; em coordenadas polares um disco fica com limites muito simples.
  • A função x^{2}+y^{2} depende só da distância ao centro; em polares isso fica ainda mais simples.
    Então vamos trocar de coordenadas usando as relações (definição de coordenadas polares):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo polar.

Passo 3

Explicando o elemento de área em polares (a tal do “Jacobiano”), passo a passo:
  • No plano cartesiano, o elemento de área é dA = dx\,dy.
  • Em polares, um pequeno retângulo nos parâmetros (r,\theta) com lados dr e d\theta mapeia para um elemento de área aproximado com lados de comprimento dr (direção radial) e r\,d\theta (arco na direção angular).
  • Logo a área desse pequeno pedaço é aproximadamente dr\cdot (r\,d\theta)= r\,dr\,d\theta.
    Por isso, ao trocar para polares usamos
dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Transformar a função integranda usando polares:
  • Note que
x^{2}+y^{2} = (r\cos\theta)^{2} + (r\sin\theta)^{2} = r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r^{2}.
Portanto a integranda x^{2}+y^{2} vira simplesmente r^{2} em coordenadas polares.
Multiplicando pelo elemento de área dA = r\,dr\,d\theta, o integrando total fica r^{2}\cdot r = r^{3}.

Passo 5

Determinar os limites de integração em (r,\theta):
  • Como D é o disco de raio 1 centrado na origem, r varia de 0 até 1.
  • Para cobrir todo o disco em ângulo, \theta varia de 0 até 2\pi.
    Logo a integral dupla passa a ser a integral iterada
\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral interna (em r):
Usamos a regra básica de integração de potências: para n\neq -1,
\int r^{n}\,dr = \frac{r^{n+1}}{n+1}.
Aqui n=3, então
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4}=\frac{1}{4}.

Passo 7

Calcular a integral externa (em \theta) e finalizar:
\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\right)d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}\,d\theta = \frac{1}{4}\left.\theta\right|_{0}^{2\pi} = \frac{1}{4}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}.

Passo 8

Bretes e checagem rápida (pra te deixar confiante):
  • A integral deu um número positivo e finito, faz sentido já que integrando x^{2}+y^{2}\ge 0 sobre uma região de área finita.
  • A simetria radial do integrando e da região justificou o uso de polares e simplificou muito o cálculo.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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