Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se 
  for contínua em 
 , então
 
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a afirmação “
 ” é verdadeira ou falsa, dado que a função 
  é contínua no intervalo 
 . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo, como derivadas e integrais, especialmente o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Primeiro, sabemos que o Teorema Fundamental do Cálculo conecta derivadas e integrais. Ele diz que se uma função 
  é contínua em um intervalo e diferenciável no interior desse intervalo, então a integral da sua derivada 
  de 
  a 
  é igual a 
 .
Passo 3
No enunciado, temos que 
  é contínua em 
 . Mas para aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo, além da continuidade, precisamos que 
  seja diferenciável nesse intervalo. A continuidade por si só não garante que a derivada 
  exista em todos os pontos de 
 .
Passo 4
Portanto, se 
  é apenas contínua e não necessariamente diferenciável em 
 , a integral 
  pode não estar bem definida ou pode não ser igual a 
 . Ou seja, a afirmação só é verdadeira se 
  for diferenciável, não apenas contínua.
Resposta
A afirmação é falsa. Uma função pode ser contínua em 
  sem ser diferenciável em todo o intervalo, o que faz com que 
  não seja necessariamente igual a 
 . Por exemplo, a função 
  é contínua em 
  mas não é diferenciável em 
 , então a igualdade não se mantém.