Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se x=f(t) e y=g(t) têm segundas derivadas, então
d^2 yd x^2=d^2 y / d t^2d^2 x / d t^2

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas as parametrizações x=f(t) e y=g(t) com segunda derivada, vale sempre a fórmula
d^2ydx^2 ;=;dfracd^2ydt^2dfracd^2xdt^2
O conteúdo envolvido é a regra de cadeia para derivadas de ordem superior em parametrizações.

Passo 2

Primeiro, lembremos que
dydx ;=;dydtdxdt ;=;g'(t)f'(t)
Para obter a segunda derivada em relação a x, aplicamos a derivada em x sobre dydx. Usando a regra de cadeia ddx=(1/f'(t)),ddt, temos
d^2ydx^2 =1f'(t);ddt!l(g'(t)f'(t)r)
Calculando a derivada do quociente:
ddt!l(g'f'r) =g'',f' - g',f''(f')^2
Portanto
d^2ydx^2 =g'',f' - g',f''(f')^3

Passo 3

Comparemos com a fórmula proposta
d^2ydx^2 stackrel?= g''f''
No resultado correto, o denominador é (f')^3 e o numerador envolve g''f' - g'f'', não apenas g''. Logo, em geral
g'',f' - g',f''(f')^3 neq g''f''

Passo 4

Um exemplo numérico deixa isso claro. Seja
x=t^2, y=t^3
Então
f'(t)=2t,;f''(t)=2, g'(t)=3t^2,;g''(t)=6t
A segunda derivada correta é
d^2ydx^2 =g''f' - g'f''(f')^3 =6tcdot 2t - 3t^2cdot 2(2t)^3 =12t^2-6t^28t^3 =6t^28t^3 =34t
Já a fórmula suposta daria
g''f''=6t2=3t,
que não coincide com tfrac34t para tneq0.

Resposta

A afirmação é falsa. A segunda derivada parametrizada satisfaz
d^2ydx^2 =g'',f' - g',f''(f')^3,
e não simplesmente tfracg''f''.

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