Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
e
têm segundas derivadas, então
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, dadas as parametrizações
e
com segunda derivada, vale sempre a fórmula
O conteúdo envolvido é a regra de cadeia para derivadas de ordem superior em parametrizações.
Passo 2
Primeiro, lembremos que
Para obter a segunda derivada em relação a
, aplicamos a derivada em
sobre
. Usando a regra de cadeia
, temos
Calculando a derivada do quociente:
Portanto
Passo 3
Comparemos com a fórmula proposta
No resultado correto, o denominador é
e o numerador envolve
, não apenas
. Logo, em geral
Passo 4
Um exemplo numérico deixa isso claro. Seja
Então
A segunda derivada correta é
Já a fórmula suposta daria
que não coincide com
para
.
Resposta
A afirmação é falsa. A segunda derivada parametrizada satisfaz
e não simplesmente
.