Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x{n}}{n{2}}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em zero
sumn=1^infty(-1)^nx^nn^2
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries de potências, e para achar o raio vamos usar o teste da raiz (ou de Cauchy–Hadamard).

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz, isto é, calculamos
limsupntoinftyraiz[n]|(-1)^nx^nn^2| =limsupntoinftyl(|x|cdot n^-2/nr) =|x|cdotlimntoinftyn^-2/n =|x|cdot1 =|x|
Segundo o teste da raiz, a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Portanto o raio de convergência é R=1.

Passo 3

O intervalo de convergência inicial obtido pelo raio é -1<x<1.

Passo 4

Agora testamos os extremos:
Quando x=1, a série fica
sumn=1^infty(-1)^ncdot1^nn^2 =sumn=1^infty(-1)^nn^2,
que converge absolutamente pois sum1/n^2 é uma p-série com p=2>1. Logo converge em x=1.
Quando x=-1, a série fica
sumn=1^infty(-1)^n,(-1)^nn^2 =sumn=1^infty1n^2,
que também converge (novamente p=2). Logo converge em x=-1.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: [-1,1].

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