Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x{n}}{n{2}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x{n}}{n{2}}
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em zero
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries de potências, e para achar o raio vamos usar o teste da raiz (ou de Cauchy–Hadamard).
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz, isto é, calculamos
Segundo o teste da raiz, a série converge se
|x|<1 e diverge se
|x|>1 . Portanto o raio de convergência é
R=1 .
Passo 3
O intervalo de convergência inicial obtido pelo raio é
-1<x<1 .
Passo 4
Agora testamos os extremos:
Quando
x=1 , a série fica
que converge absolutamente pois
sum1/n^2 é uma
p -série com
p=2>1 . Logo converge em
x=1 .
Quando
x=-1 , a série fica
que também converge (novamente
p=2 ). Logo converge em
x=-1 .
Resposta
Raio de convergência:
R=1 .
Intervalo de convergência:[-1,1] .
Intervalo de convergência: