Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
O gráfico de y^2=2 y+3 x é uma parábola.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a curva dada pela equação
y^2 = 2y + 3x
no plano cartesiano. Estamos em Geometria Analítica, mais precisamente na classificação de cônicas a partir da forma geral
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

Passo 2

Reescrevendo em forma geral, temos
y^2 - 2y - 3x = 0,
ou seja
0cdot x^2 + 0cdot xy + 1cdot y^2 - 3cdot x - 2cdot y + 0 = 0
Aqui A=0, B=0 e C=1. O discriminante das cônicas é
De<a = B^2 - 4AC = 0^2 - 4cdot0cdot1 = 0
Quando De<a=0, a curva é uma parábola.

Passo 3

Para ver explicitamente a forma parabólica, completamos o quadrado em y:
y^2 - 2y = 3x Longrightarrow (y-1)^2 - 1 = 3x Longrightarrow (y-1)^2 = 3l(x + tfrac13r)
Isto é a equação de uma parábola com eixo paralelo ao eixo x, vértice em l(-tfrac13,1r) e parâmetro p=tfrac34.

Resposta

Verdadeira.

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