Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
I. Se f for uma função, então f(s+t)=f(s)+f(t).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, para toda função f, vale sempre a propriedade
f(s+t)=f(s)+f(t).
Isso pertence ao estudo de funções e, mais especificamente, à noção de aditividade de uma função.

Passo 2

Uma função que satisfaz
f(s+t)=f(s)+f(t)
para todos os s,t é chamada de função aditiva. No entanto, nem toda função é aditiva: só aquelas que, sob certas condições (por exemplo, linearidade), cumprem essa igualdade.

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa, basta dar um contraexemplo. Por exemplo, considere a função
f(x)=x^2.
Então
f(s+t)=(s+t)^2=s^2+2st+t^2,
enquanto
f(s)+f(t)=s^2+t^2.
Como aparece o termo 2st em f(s+t) que não está em f(s)+f(t), concluímos que
f(s+t)\neq f(s)+f(t)
em geral.

Resposta

A afirmação é falsa. O exemplo f(x)=x^2 mostra que, em geral, não vale f(s+t)=f(s)+f(t).

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