Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Se \lim _{x \rightarrow 5} f(x)=0 e \lim _{x \rightarrow 5} g(x)=0, então \lim _{x \rightarrow 5}[f(x) / g(x)] não existe.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\lim_{x\to 5} f(x)=0
\lim_{x\to 5} g(x)=0
E pede para determinar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“A partir dessas informações, \lim_{x\to 5} \dfrac{f(x)}{g(x)} não existe.”
Ou seja: decidir se a conclusão “o limite da razão não existe” segue sempre das hipóteses dadas.

Passo 2

Vamos entender o que significa a situação \lim_{x\to5}f(x)=0 e \lim_{x\to5}g(x)=0. Há um fato importante sobre limites de quocientes:
se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M e M\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
Mas aqui temos M=0, então essa regra não vale. O caso \dfrac{0}{0} é chamado de forma indeterminada: saber que ambos tendem a 0 não determina por si só o comportamento da razão — é preciso analisar como eles tendem a zero (ordens, fatores comuns, oscilações etc.). Portanto, a conclusão “o limite não existe” não segue imediatamente; pode ou não existir dependendo das funções.

Passo 3

Exemplo em que o limite da razão existe (mostrar que a afirmação é falsa com um contraexemplo):
Escolha
f(x)=x^2-25,\qquad g(x)=x-5.
Verificamos as hipóteses:
\lim_{x\to5} f(x)=\lim_{x\to5}(x^2-25)=25-25=0,
\lim_{x\to5} g(x)=\lim_{x\to5}(x-5)=0.
Agora calcule a razão para x\neq5:
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2-25}{x-5}=\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}=x+5.
Como a razão simplifica para x+5 quando x\neq5, temos
\lim_{x\to5}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to5}(x+5)=10.
Logo, apesar de ambos tenderem a 0, a razão tem limite finito e igual a 10. Isso já mostra que a afirmação “então \lim \frac{f}{g} não existe” é falsa em geral.

Passo 4

Exemplo em que o limite da razão não existe (mostrar que comportamento oposto também ocorre):
Escolha
f(x)=x-5,\qquad g(x)=(x-5)^2.
Verificamos as hipóteses:
\lim_{x\to5} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to5} g(x)=0.
Para x\neq5,
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x-5}{(x-5)^2}=\frac{1}{x-5}.
Quando x\to5^+ temos \dfrac{1}{x-5}\to +\infty e quando x\to5^- temos \dfrac{1}{x-5}\to -\infty. Portanto o limite não existe (nem como limite finito nem como mesmo sinal infinito). Isto mostra que em outras escolhas de f e g a razão realmente não tem limite.

Passo 5

Comentário prático (como resolver na prova): quando encontrar uma indeterminação \dfrac{0}{0},
  • tente fatorar e simplificar (como no Passo 3: cancelar um fator comum);
  • ou use regras como l’Hôpital (se as hipóteses de diferenciabilidade valerem) para comparar ordens de zero;
  • ou examine comportamento lateral ou oscilações para ver se a razão diverge ou não tem limite.
    Em resumo: \dfrac{0}{0} é indeterminado — pode dar limite finito, infinito ou não existir por oscilações. Sempre faça uma análise adicional.

Passo 6

Conclusão: a afirmação original é falsa, pois existem casos em que a razão possui limite (ex.: f(x)=x^2-25,\\ g(x)=x-5) e casos em que não possui (ex.: f(x)=x-5,\\ g(x)=(x-5)^2).

Resposta

Falsa

Exercícios relacionados