Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Se
e
, então
não existe.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
E pede para determinar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“A partir dessas informações, não existe.”
Ou seja: decidir se a conclusão “o limite da razão não existe” segue sempre das hipóteses dadas.
“A partir dessas informações,
Ou seja: decidir se a conclusão “o limite da razão não existe” segue sempre das hipóteses dadas.
Passo 2
Vamos entender o que significa a situação
e
. Há um fato importante sobre limites de quocientes:
se e
e
, então
se
Mas aqui temos
, então essa regra não vale. O caso
é chamado de forma indeterminada: saber que ambos tendem a
não determina por si só o comportamento da razão — é preciso analisar como eles tendem a zero (ordens, fatores comuns, oscilações etc.). Portanto, a conclusão “o limite não existe” não segue imediatamente; pode ou não existir dependendo das funções.
Passo 3
Exemplo em que o limite da razão existe (mostrar que a afirmação é falsa com um contraexemplo):
Escolha
Escolha
Verificamos as hipóteses:
Agora calcule a razão para
:
Como a razão simplifica para
quando
, temos
Logo, apesar de ambos tenderem a
, a razão tem limite finito e igual a
. Isso já mostra que a afirmação “então
não existe” é falsa em geral.
Passo 4
Exemplo em que o limite da razão não existe (mostrar que comportamento oposto também ocorre):
Escolha
Escolha
Verificamos as hipóteses:
Para
,
Quando
temos
e quando
temos
. Portanto o limite não existe (nem como limite finito nem como mesmo sinal infinito). Isto mostra que em outras escolhas de
e
a razão realmente não tem limite.
Passo 5
Comentário prático (como resolver na prova): quando encontrar uma indeterminação
,
- tente fatorar e simplificar (como no Passo 3: cancelar um fator comum);
- ou use regras como l’Hôpital (se as hipóteses de diferenciabilidade valerem) para comparar ordens de zero;
- ou examine comportamento lateral ou oscilações para ver se a razão diverge ou não tem limite.
Em resumo:é indeterminado — pode dar limite finito, infinito ou não existir por oscilações. Sempre faça uma análise adicional.
Passo 6
Conclusão: a afirmação original é falsa, pois existem casos em que a razão possui limite (ex.:
) e casos em que não possui (ex.:
).
Resposta
Falsa