Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Se \lim _{x \rightarrow 5} f(x)=2 e \lim _{x \rightarrow 5} g(x)=0, então \lim _{x \rightarrow 5}[f(x) / g(x)] não existe.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações: \lim_{x\to5} f(x)=2 e \lim_{x\to5} g(x)=0.
A pergunta é: a afirmação
\lim_{x\to5}\frac{f(x)}{g(x)}\\ \text{não existe}
é verdadeira ou falsa?
Passo 2
Vamos entender o que significa cada limite dado. Dizer que \lim_{x\to5} f(x)=2 quer dizer que, conforme x se aproxima de 5, os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de 2. Dizer que \lim_{x\to5} g(x)=0 quer dizer que, conforme x se aproxima de 5, os valores de g(x) ficam arbitrariamente próximos de 0. Intuitivamente, dividir algo que fica próximo de 2 por algo que fica próximo de 0 tende a produzir quocientes com magnitude muito grande — ou seja, o quociente tende a “explodir” em módulo. Vamos tornar isso rigoroso.
Passo 3
Estratégia rigorosa (provar que o quociente não pode ter limite finito): mostraremos que |f(x)/g(x)| fica arbitrariamente grande quando x se aproxima de 5. Se conseguirmos isso, então o limite da razão não pode ser um número real finito.
Seja M>0 um número arbitrário (queremos mostrar que existem pontos onde |f(x)/g(x)|>M). Como \lim_{x\to5} f(x)=2, existe \delta_1>0 tal que, para 0<|x-5|<\delta_1, temos
|f(x)-2|<1.
Isso implica, pela desigualdade triangular, que nesses x
|f(x)| \ge |2|-|f(x)-2| > 2-1 = 1,
ou seja, |f(x)|>1 sempre que 0<|x-5|<\delta_1.
Como \lim_{x\to5} g(x)=0, existe \delta_2>0 tal que, para 0<|x-5|<\delta_2, temos
|g(x)|<\frac{1}{M}.
Agora tome \delta=\min(\delta_1,\delta_2). Para qualquer x com 0<|x-5|<\delta juntamos as duas desigualdades e obtemos
\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|=\frac{|f(x)|}{|g(x)|} > \frac{1}{1/M} = M.
Como M>0 foi escolhido arbitrariamente, mostramos que para qualquer M há pontos suficientemente próximos de 5 onde |f(x)/g(x)|>M. Isso significa que |f(x)/g(x)| não é limitado quando x\to5, ou seja, o quociente não pode convergir para um número real finito.
Passo 4
Comentário sobre limites “infinitos” e existência: a prova acima mostra que |f(x)/g(x)|\to\infty em magnitude (ou seja, fica arbitrariamente grande). Assim, o limite da razão não existe como número real. Dependendo do comportamento do sinal de g(x) (se muda de positivo para negativo ao redor de 5 ou não), a razão pode tender para +\infty, para -\infty ou oscilar entre grandes valores positivos e negativos; em qualquer caso o limite no sentido usual dos reais não existe.
Um exemplo simples para ilustrar: escolha f(x)\equiv2 e g(x)=x-5. Então \lim_{x\to5} f(x)=2 e \lim_{x\to5} g(x)=0, e
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2}{x-5}
não tem limite finito quando x\to5 (em vez disso, diverge para +\infty por um lado e para -\infty pelo outro).
Passo 5
Conclusão: a afirmação é verdadeira — sob as hipóteses \lim_{x\to5} f(x)=2 e \lim_{x\to5} g(x)=0, o limite \lim_{x\to5} \frac{f(x)}{g(x)} não existe como número real.