Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Se \lim _{x \rightarrow a} f(x) e \lim _{x \rightarrow a} g(x) não existem, então \lim _{x \rightarrow a}[f(x)+g(x)] não existe.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa, justificando a resposta:
\text{Se } \lim_{x\to a} f(x) \text{ e } \lim_{x\to a} g(x) \text{ não existem, então } \lim_{x\to a}[f(x)+g(x)] \text{ não existe.}ããã
Informações dadas:
  • Não há hipóteses adicionais sobre f e g além de que os limites \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) não existem.
  • A pergunta é: a conclusão de que \lim_{x\to a}[f(x)+g(x)] não existe segue obrigatoriamente? Ou seja, a afirmação é verdadeira para todo par de funções com essas propriedades, ou existe contraexemplo?

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “o limite existe” e “não existe”, de forma bem prática e direta.
Definição de limite finito: dizer que \lim_{x\to a} f(x)=L significa que
\text{para todo } \varepsilon>0 \text{ existe } \delta>0 \text{ tal que, se } 0<|x-a|<\delta,\text{ então } |f(x)-L|<\varepsilon.ã
Se não existe nenhum número real L que satisfaça essa condição, dizemos que \lim_{x\to a} f(x) não existe. Isso pode ocorrer por vários motivos: valores tendem a infinito, têm limites laterais diferentes, ou os valores oscilam sem convergir.
Observação importante (propriedade usual): se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M existem (são finitos), então
\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=L+M.
Mas a afirmação do enunciado é uma tentativa da recíproca: se ambos os limites não existem, então o limite da soma não existe. Precisamos verificar se essa recíproca é sempre verdadeira ou se existe um contraexemplo.

Passo 3

Estratégia simples e eficiente: procurar um contraexemplo. Para mostrar que a afirmação é falsa basta encontrar funções f e g tais que:
  • \lim_{x\to a} f(x) não existe,
  • \lim_{x\to a} g(x) não existe,
  • mas \lim_{x\to a}[f(x)+g(x)] existe (e é finito).
Um exemplo clássico e fácil de entender usa funções que “cancelam” exatamente uma à outra para todo x\neq a. Considere as seguintes funções (aqui eu uso a genérico; você pode pensar em a=0 se preferir):
f(x)=\frac{1}{x-a},\qquad g(x)=-\frac{1}{x-a}.

Passo 4

Verificação de que cada limite individual não existe.
Para f consideremos aproximações de x por duas sequências diferentes que tendem a a:
  • Tome x_n=a+\dfrac{1}{n}. Então x_n\to a quando n\to\infty e
f(x_n)=\frac{1}{x_n-a}=\frac{1}{1/n}=n\longrightarrow +\infty.
  • Tome y_n=a-\dfrac{1}{n}. Então y_n\to a e
f(y_n)=\frac{1}{y_n-a}=\frac{1}{-1/n}=-n\longrightarrow -\infty.
Como pelas duas sequências que se aproximam de a o comportamento é diferente (uma vai para +\infty e outra para -\infty), não existe um número real L tal que f(x)\to L. Logo \lim_{x\to a} f(x) não existe (é incompatível com convergência finita).
O mesmo argumento vale para g(x)=-\dfrac{1}{x-a}: pelas mesmas duas sequências obtemos limites -n\to -\infty e +n\to +\infty em lados opostos, então \lim_{x\to a} g(x) também não existe.
(Comentário didático: não precisamos provar formalmente com \varepsilon \delta aqui; comportamento diferente em duas sequências que se aproximam de a já mostra não existência do limite finito.)

Passo 5

Agora verifiquemos a soma:
f(x)+g(x)=\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x-a}=0,\qquad\text{para todo } x\neq a.
Portanto a função h(x)=f(x)+g(x) é identicamente zero em todo ponto distinto de a. Logo
\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\to a} 0 = 0.
Esse limite existe e é igual a 0.

Passo 6

Conclusão do raciocínio: encontramos funções f e g tais que ambos os limites individuais não existem, mas o limite da soma existe. Isso mostra que a afirmação original é falsa — não é verdade que, sempre que \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) não existam, então necessariamente \lim_{x\to a}[f(x)+g(x)] também não exista.
Comentário final e motivação intuitiva: o que aconteceu é que as “divergências” de f e g se cancelaram exatamente. Há outros contraexemplos (por exemplo f(x)=\sin(1/(x-a)), g(x)=-\sin(1/(x-a))); a ideia é sempre a mesma: limites individuais podem falhar por motivos que, combinados com outro termo, se anulem.

Resposta

Falsa.

Exercícios relacionados