Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Se
e
não existem, então
não existe.
Se
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa, justificando a resposta:
Informações dadas:
- Não há hipóteses adicionais sobre
e além de que os limites e não existem. - A pergunta é: a conclusão de que
não existe segue obrigatoriamente? Ou seja, a afirmação é verdadeira para todo par de funções com essas propriedades, ou existe contraexemplo?
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “o limite existe” e “não existe”, de forma bem prática e direta.
Definição de limite finito: dizer que significa que
Definição de limite finito: dizer que
Se não existe nenhum número real
que satisfaça essa condição, dizemos que
não existe. Isso pode ocorrer por vários motivos: valores tendem a infinito, têm limites laterais diferentes, ou os valores oscilam sem convergir.
Observação importante (propriedade usual): se
e
existem (são finitos), então
Mas a afirmação do enunciado é uma tentativa da recíproca: se ambos os limites não existem, então o limite da soma não existe. Precisamos verificar se essa recíproca é sempre verdadeira ou se existe um contraexemplo.
Passo 3
Estratégia simples e eficiente: procurar um contraexemplo. Para mostrar que a afirmação é falsa basta encontrar funções
e
tais que:
-
não existe, -
não existe, - mas
existe (e é finito).
Um exemplo clássico e fácil de entender usa funções que “cancelam” exatamente uma à outra para todo
. Considere as seguintes funções (aqui eu uso
genérico; você pode pensar em
se preferir):
Passo 4
Verificação de que cada limite individual não existe.
Para
consideremos aproximações de
por duas sequências diferentes que tendem a
:
- Tome
. Então quando e
- Tome
. Então e
Como pelas duas sequências que se aproximam de
o comportamento é diferente (uma vai para
e outra para
), não existe um número real
tal que
. Logo
não existe (é incompatível com convergência finita).
O mesmo argumento vale para
: pelas mesmas duas sequências obtemos limites
e
em lados opostos, então
também não existe.
(Comentário didático: não precisamos provar formalmente com
–
aqui; comportamento diferente em duas sequências que se aproximam de
já mostra não existência do limite finito.)
Passo 5
Agora verifiquemos a soma:
Portanto a função
é identicamente zero em todo ponto distinto de
. Logo
Esse limite existe e é igual a
.
Passo 6
Conclusão do raciocínio: encontramos funções
e
tais que ambos os limites individuais não existem, mas o limite da soma existe. Isso mostra que a afirmação original é falsa — não é verdade que, sempre que
e
não existam, então necessariamente
também não exista.
Comentário final e motivação intuitiva: o que aconteceu é que as “divergências” de
e
se cancelaram exatamente. Há outros contraexemplos (por exemplo
,
); a ideia é sempre a mesma: limites individuais podem falhar por motivos que, combinados com outro termo, se anulem.
Resposta
Falsa.