Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
for contínua em
, então
Se
Passo 1
O enunciado dá a função
contínua em
e afirma que
O que se pede é: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar. Informação relevante dada:
-
é contínua em (portanto é integrável em Riemann em ). - O número
é uma constante real.
Passo 2
Intuição e ideia geral (sem formalismo pesado): a integral definida é, essencialmente, o limite de somas do tipo soma de
em pontos multiplicadas pelos comprimentos dos subintervalos (somas de Riemann). Se eu multiplico a função por uma constante
, cada termo da soma é multiplicado por
, então o limite (a integral) também deve ser multiplicado por
. Vou agora transformar essa intuição em argumentos claros e utilizáveis na prova e na prova alternativa usando a regra da primitiva.
Passo 3
Prova direta usando somas de Riemann (formal e elementar).
- Seja
uma partição de com subintervalos e tags . Por definição de soma de Riemann, a soma associada a é
onde
.
- A soma de Riemann para a função
com a mesma partição e tags é
- Como
é constante, podemos fatorar fora da soma:
- A integral de Riemann é o limite (quando a norma da partição tende a
) das somas de Riemann. Portanto, tomando o limite em ambos os lados (para qualquer sequência de partições que refina), obtemos
- Observação importante: a continuidade de
em garante que é Riemann-integrável, então as somas de Riemann têm limite bem definido. Assim a passagem do nível das somas para a integral é legítima.
Passo 4
Prova alternativa usando o Teorema Fundamental do Cálculo (mais curta e prática para provas):
- Como
é contínua em , a função
é diferenciável em
e
(esse é o primeiro teorema fundamental do cálculo).
- Considere a função
. Então , ou seja, é uma primitiva de . - Pelo segundo teorema fundamental do cálculo,
- Mas
. Logo
Passo 5
Exemplo numérico para fixar (faça na prova se precisar checar):
- Tome
em . Sabemos que (primitiva ). - Então
.
Esse exemplo confirma na prática a propriedade que provamos.
Passo 6
Observações finais e dica para a prova:
- A propriedade que usamos é geral: para qualquer constante
e qualquer função integrável em vale
- Na prova de exame, se
for dada como contínua, você pode usar diretamente a prova com primitivas (FTC) ou a explicação de somas de Riemann se quiser ser mais elementar. Diga sempre que a continuidade implica integrabilidade para justificar a troca de limite.
Resposta
Verdadeira.