Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f for contínua em [a, b], então
\int_{a}^{b} 5 f(x) d x=5 \int_{a}^{b} f(x) d x

Passo 1

O enunciado dá a função f contínua em [a,b] e afirma que
\int_{a}^{b} 5 f(x)\,dx = 5 \int_{a}^{b} f(x)\,dx.
O que se pede é: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar. Informação relevante dada:
  • f é contínua em [a,b] (portanto f é integrável em Riemann em [a,b]).
  • O número 5 é uma constante real.

Passo 2

Intuição e ideia geral (sem formalismo pesado): a integral definida é, essencialmente, o limite de somas do tipo soma de f em pontos multiplicadas pelos comprimentos dos subintervalos (somas de Riemann). Se eu multiplico a função por uma constante 5, cada termo da soma é multiplicado por 5, então o limite (a integral) também deve ser multiplicado por 5. Vou agora transformar essa intuição em argumentos claros e utilizáveis na prova e na prova alternativa usando a regra da primitiva.

Passo 3

Prova direta usando somas de Riemann (formal e elementar).
  • Seja P uma partição de [a,b] com subintervalos [x_{i-1},x_i] e tags \xi_i \in [x_{i-1},x_i]. Por definição de soma de Riemann, a soma associada a f é
S(f,P,\xi)=\sum_{i} f(\xi_i)\,\Delta x_i,
onde \Delta x_i = x_i-x_{i-1}.
  • A soma de Riemann para a função 5f com a mesma partição e tags é
S(5f,P,\xi)=\sum_{i} 5f(\xi_i)\,\Delta x_i.
  • Como 5 é constante, podemos fatorar fora da soma:
S(5f,P,\xi)=5\sum_{i} f(\xi_i)\,\Delta x_i = 5\,S(f,P,\xi).
  • A integral de Riemann é o limite (quando a norma da partição tende a 0) das somas de Riemann. Portanto, tomando o limite em ambos os lados (para qualquer sequência de partições que refina), obtemos
\int_{a}^{b} 5 f(x)\,dx = 5 \int_{a}^{b} f(x)\,dx.
  • Observação importante: a continuidade de f em [a,b] garante que f é Riemann-integrável, então as somas de Riemann têm limite bem definido. Assim a passagem do nível das somas para a integral é legítima.

Passo 4

Prova alternativa usando o Teorema Fundamental do Cálculo (mais curta e prática para provas):
  • Como f é contínua em [a,b], a função
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt
é diferenciável em [a,b] e F'(x)=f(x) (esse é o primeiro teorema fundamental do cálculo).
  • Considere a função G(x)=5F(x). Então G'(x)=5F'(x)=5f(x), ou seja, G é uma primitiva de 5f.
  • Pelo segundo teorema fundamental do cálculo,
\int_{a}^{b} 5f(x)\,dx = G(b)-G(a) = 5F(b)-5F(a) = 5\big(F(b)-F(a)\big).
  • Mas F(b)-F(a)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx. Logo
\int_{a}^{b} 5f(x)\,dx = 5\int_{a}^{b} f(x)\,dx.

Passo 5

Exemplo numérico para fixar (faça na prova se precisar checar):
  • Tome f(x)=x em [0,1]. Sabemos que \int_{0}^{1} x\,dx = \tfrac{1}{2} (primitiva x^2/2).
  • Então \int_{0}^{1} 5x\,dx = 5\int_{0}^{1} x\,dx = 5\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2}.
    Esse exemplo confirma na prática a propriedade que provamos.

Passo 6

Observações finais e dica para a prova:
  • A propriedade que usamos é geral: para qualquer constante c\in\mathbb{R} e qualquer função integrável f em [a,b] vale
\int_{a}^{b} c\,f(x)\,dx = c\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
  • Na prova de exame, se f for dada como contínua, você pode usar diretamente a prova com primitivas (FTC) ou a explicação de somas de Riemann se quiser ser mais elementar. Diga sempre que a continuidade implica integrabilidade para justificar a troca de limite.

Resposta

Verdadeira.

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