Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f e g forem contínuas em [a, b], então
\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)] d x=\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{a}^{b} g(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa, e justificar com uma explicação ou contraexemplo:
\text{Se }f\text{ e }g\text{ forem contínuas em }[a,b],\text{ então }\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int_{a}^{b} f(x)\,dx+\int_{a}^{b} g(x)\,dx.íã
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{1. }f\text{ é contínua em }[a,b].\\\ &\text{2. }g\text{ é contínua em }[a,b].\\\ &\text{3. A igualdade a ser verificada envolve integrais no sentido de Riemann (padrão).} \end{aligned}éíéíã

Passo 2

Vou provar a afirmação verdadeira mostrando dois fatos fundamentais e simples:
  1. A soma de funções contínuas é contínua, então f+g é contínua em [a,b].
  2. Funções contínuas em [a,b] são Riemann-integráveis, e para funções integráveis a operação “integral” é linear, isto é, a integral da soma é a soma das integrais.
Na prática vou explicar por que cada um desses itens é verdadeiro de forma direta e elementar (sem pular etapas), e depois combinar para concluir a igualdade desejada.

Passo 3

Explicação e prova do fato 1: “a soma de contínuas é contínua”.
Definição útil (intuição e forma rigorosa): dizemos que uma função h é contínua em x_0 se, quando x se aproxima de x_0, os valores h(x) aproximam-se de h(x_0). Rigorosamente, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que |x-x_0|<\delta implica |h(x)-h(x_0)|<\varepsilon.
Prova passo a passo: fixa um ponto x_0\in[a,b]. Como f e g são contínuas em x_0, para um \varepsilon>0 dado existem \delta_1>0 e \delta_2>0 tais que
|x-x_0|<\delta_1 \implies |f(x)-f(x_0)|<\tfrac{\varepsilon}{2},
|x-x_0|<\delta_2 \implies |g(x)-g(x_0)|<\tfrac{\varepsilon}{2}.
Sejam \delta=\min(\delta_1,\delta_2). Então, para |x-x_0|<\delta,
|(f+g)(x)-(f+g)(x_0)| \le |f(x)-f(x_0)|+|g(x)-g(x_0)| < \tfrac{\varepsilon}{2}+\tfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
Isto mostra que f+g é contínua em x_0. Como x_0 foi arbitrário em [a,b], f+g é contínua em [a,b].

Passo 4

Explicação e prova do fato 2 (parte A): “funções contínuas em [a,b] são Riemann-integráveis”.
Intuição: numa reta fechada [a,b] uma função contínua é limitada e, por uniformidade da continuidade em intervalo compacto, a oscilação da função dentro de subintervalos pode ser tornada arbitrariamente pequena; isso permite aproximar a área sob a curva tanto por somas superiores quanto por somas inferiores de forma arbitrariamente próxima, portanto a função é integrável.
Prova esquemática com detalhes suficientes para prova de prova-única (sem pular etapas importantes): como f é contínua em [a,b] e [a,b] é compacto, f é uniformemente contínua. Assim, dado \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que se |x-y|<\delta então |f(x)-f(y)|<\tfrac{\varepsilon}{b-a}. Considere uma partição P de [a,b] cujos comprimentos de subintervalos são todos menores que \delta. Em cada subintervalo I_k a diferença entre o supremo M_k e o ínfimo m_k de f é menor que \tfrac{\varepsilon}{b-a}. Então a diferença entre soma superior U(f,P)=\sum_k M_k|I_k| e soma inferior L(f,P)=\sum_k m_k|I_k| satisfaz
U(f,P)-L(f,P) = \sum_k (M_k-m_k)|I_k| < \sum_k \frac{\varepsilon}{b-a}|I_k| = \frac{\varepsilon}{b-a}(b-a) = \varepsilon.
Pelo critério de Riemann, se existem partições com U(f,P)-L(f,P) arbitrariamente pequenas então f é integrável. Portanto f é Riemann-integrável. A mesma argumentação vale para g e para f+g (já que vimos que f+g é contínua).

Passo 5

Explicação e prova do fato 2 (parte B): “a integral é linear” — prova usando somas de Riemann (passo a passo elementar).
Definição de soma de Riemann: para uma função h integrável em [a,b], uma partição P=\{a=x_0<x_1<\dots<x_n=b\} e pontos amostrais \xi_k\in[x_{k-1},x_k], a soma de Riemann é
S(h,P,\{\xi_k\})=\sum_{k=1}^{n} h(\xi_k)\,(x_k-x_{k-1}).
Se h é integrável, então, quando o diâmetro da partição ||P||=\max_k(x_k-x_{k-1}) tende a zero, as somas de Riemann S(h,P,\{\xi_k\}) tendem para o valor \int_a^b h(x)\,dx.
Agora aplique isso a h=f+g. Para qualquer partição P e pontos \xi_k,
\begin{aligned} S(f+g,P,\{\xi_k\}) &= \sum_{k=1}^{n} (f+g)(\xi_k)\,(x_k-x_{k-1})\\\ &= \sum_{k=1}^{n} \big(f(\xi_k)+g(\xi_k)\big)\,(x_k-x_{k-1})\\\ &= \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k)\,(x_k-x_{k-1}) + \sum_{k=1}^{n} g(\xi_k)\,(x_k-x_{k-1})\\\ &= S(f,P,\{\xi_k\}) + S(g,P,\{\xi_k\}). \end{aligned}
Isto é uma identidade exata para qualquer P e quaisquer \xi_k. Agora, como f e g são integráveis, sabemos que, quando ||P||\to 0,
S(f,P,\{\xi_k\}) \to \int_a^b f(x)\,dx \quad\text{e}\quad S(g,P,\{\xi_k\}) \to \int_a^b g(x)\,dx.
Tomando limites na igualdade anterior e usando a propriedade básica de limites de somas (o limite da soma é a soma dos limites quando ambos existem), obtemos
\lim_{||P||\to 0} S(f+g,P,\{\xi_k\}) = \lim_{||P||\to 0} S(f,P,\{\xi_k\}) + \lim_{||P||\to 0} S(g,P,\{\xi_k\}),
ou seja
\int_a^b (f(x)+g(x))\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx.
Isso conclui a prova da linearidade para funções integráveis. Note que a argumentação é totalmente elementar e depende apenas da definição de soma de Riemann e propriedades básicas de limites.

Passo 6

Resumo e conclusão lógica final: juntando os passos anteriores temos
\begin{aligned} &f\text{ contínua em }[a,b]\\ \wedge\\ g\text{ contínua em }[a,b] \\\ \implies\\ &f+g\text{ contínua em }[a,b]\quad(\text{Passo 3})\\\ \implies\\ &f,\\ g,\\ f+g\text{ são Riemann-integráveis em }[a,b]\quad(\text{Passo 4})\\\ \implies\\ &\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int_{a}^{b} f(x)\,dx+\int_{a}^{b} g(x)\,dx\quad(\text{Passo 5}). \end{aligned}íííãá
Portanto a igualdade do enunciado é verdadeira, com a prova baseada na continuidade (que garante integrabilidade) e na linearidade das somas de Riemann.

Resposta

Verdadeira.

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