Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
e
forem contínuas em
, então
Se
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa, e justificar com uma explicação ou contraexemplo:
Informações dadas:
Passo 2
Vou provar a afirmação verdadeira mostrando dois fatos fundamentais e simples:
- A soma de funções contínuas é contínua, então
é contínua em . - Funções contínuas em
são Riemann-integráveis, e para funções integráveis a operação “integral” é linear, isto é, a integral da soma é a soma das integrais.
Na prática vou explicar por que cada um desses itens é verdadeiro de forma direta e elementar (sem pular etapas), e depois combinar para concluir a igualdade desejada.
Passo 3
Explicação e prova do fato 1: “a soma de contínuas é contínua”.
Definição útil (intuição e forma rigorosa): dizemos que uma função
é contínua em
se, quando
se aproxima de
, os valores
aproximam-se de
. Rigorosamente, para todo
existe
tal que
implica
.
Prova passo a passo: fixa um ponto
. Como
e
são contínuas em
, para um
dado existem
e
tais que
Sejam
. Então, para
,
Isto mostra que
é contínua em
. Como
foi arbitrário em
,
é contínua em
.
Passo 4
Explicação e prova do fato 2 (parte A): “funções contínuas em
são Riemann-integráveis”.
Intuição: numa reta fechada
uma função contínua é limitada e, por uniformidade da continuidade em intervalo compacto, a oscilação da função dentro de subintervalos pode ser tornada arbitrariamente pequena; isso permite aproximar a área sob a curva tanto por somas superiores quanto por somas inferiores de forma arbitrariamente próxima, portanto a função é integrável.
Prova esquemática com detalhes suficientes para prova de prova-única (sem pular etapas importantes): como
é contínua em
e
é compacto,
é uniformemente contínua. Assim, dado
existe
tal que se
então
. Considere uma partição
de
cujos comprimentos de subintervalos são todos menores que
. Em cada subintervalo
a diferença entre o supremo
e o ínfimo
de
é menor que
. Então a diferença entre soma superior
e soma inferior
satisfaz
Pelo critério de Riemann, se existem partições com
arbitrariamente pequenas então
é integrável. Portanto
é Riemann-integrável. A mesma argumentação vale para
e para
(já que vimos que
é contínua).
Passo 5
Explicação e prova do fato 2 (parte B): “a integral é linear” — prova usando somas de Riemann (passo a passo elementar).
Definição de soma de Riemann: para uma função
integrável em
, uma partição
e pontos amostrais
, a soma de Riemann é
Se
é integrável, então, quando o diâmetro da partição
tende a zero, as somas de Riemann
tendem para o valor
.
Agora aplique isso a
. Para qualquer partição
e pontos
,
Isto é uma identidade exata para qualquer
e quaisquer
. Agora, como
e
são integráveis, sabemos que, quando
,
Tomando limites na igualdade anterior e usando a propriedade básica de limites de somas (o limite da soma é a soma dos limites quando ambos existem), obtemos
ou seja
Isso conclui a prova da linearidade para funções integráveis. Note que a argumentação é totalmente elementar e depende apenas da definição de soma de Riemann e propriedades básicas de limites.
Passo 6
Resumo e conclusão lógica final: juntando os passos anteriores temos
Portanto a igualdade do enunciado é verdadeira, com a prova baseada na continuidade (que garante integrabilidade) e na linearidade das somas de Riemann.
Resposta
Verdadeira.